Równanie z liczbami zespolonymi.

[yonagold]

Witam mam coś takiego:

\(\displaystyle{ \[
\frac{{\overline z }}{{z^3 }} = \frac{i}{2}
\]}\)

Próbowałem na krzyż przyjmując, że z=x+iy :

\(\displaystyle{ \[
\overline z 2 = i z^3
\]}\)

Bardzo proszę o rozwiązanie bo za coś nie mogę zrobić tego przykładu...

Pozdrawiam i dziekuję

[gajatko]

Przedstaw to trygonometrycznie.
\(\displaystyle{ z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)\\
\frac{|z|(\cos-\varphi+i\sin-\varphi)}{|z|^3(\cos3\varphi+i\sin3\varphi)}=\frac{i}{2}\\
{\frac{1}{|z|^2}(\cos(3\varphi+\varphi)+i\sin(3\varphi+\varphi))}=
\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)\\}\)
Potem to już samo idzie, wychodzi
\(\displaystyle{ z=\sqrt 2\left(\cos \frac{\pi}{8}+i\sin \frac{\pi}{8}\right)}\)

[yonagold]

a jak przekształcać dalej przedostatnią linijkę ???

[gajatko]

Nic już nie przekształcam. Korzystam z tw. o jednoznaczności postaci trygonometrycznej i otrzymuję układ równań:
\(\displaystyle{ \frac{1}{|z|^2}\left(\cos 4\varphi+i\sin 4\varphi\right)=
\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)\ \\
\begin{cases}
\frac{1}{|z|^2}=\frac{1}{2}\\
4\varphi=\frac{\pi}{2}
\end{cases}}\)