Witam mam coś takiego:
\(\displaystyle{ \[
\frac{{\overline z }}{{z^3 }} = \frac{i}{2}
\]}\)
Próbowałem na krzyż przyjmując, że z=x+iy :
\(\displaystyle{ \[
\overline z 2 = i z^3
\]}\)
Bardzo proszę o rozwiązanie bo za coś nie mogę zrobić tego przykładu...
Pozdrawiam i dziekuję
Równanie z liczbami zespolonymi.
-
- Użytkownik
- Posty: 135
- Rejestracja: 16 sty 2008, o 20:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 36 razy
Równanie z liczbami zespolonymi.
Przedstaw to trygonometrycznie.
\(\displaystyle{ z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)\\
\frac{|z|(\cos-\varphi+i\sin-\varphi)}{|z|^3(\cos3\varphi+i\sin3\varphi)}=\frac{i}{2}\\
{\frac{1}{|z|^2}(\cos(3\varphi+\varphi)+i\sin(3\varphi+\varphi))}=
\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)\\}\)
Potem to już samo idzie, wychodzi
\(\displaystyle{ z=\sqrt 2\left(\cos \frac{\pi}{8}+i\sin \frac{\pi}{8}\right)}\)
\(\displaystyle{ z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)\\
\frac{|z|(\cos-\varphi+i\sin-\varphi)}{|z|^3(\cos3\varphi+i\sin3\varphi)}=\frac{i}{2}\\
{\frac{1}{|z|^2}(\cos(3\varphi+\varphi)+i\sin(3\varphi+\varphi))}=
\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)\\}\)
Potem to już samo idzie, wychodzi
\(\displaystyle{ z=\sqrt 2\left(\cos \frac{\pi}{8}+i\sin \frac{\pi}{8}\right)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 135
- Rejestracja: 16 sty 2008, o 20:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 36 razy
Równanie z liczbami zespolonymi.
Nic już nie przekształcam. Korzystam z tw. o jednoznaczności postaci trygonometrycznej i otrzymuję układ równań:
\(\displaystyle{ \frac{1}{|z|^2}\left(\cos 4\varphi+i\sin 4\varphi\right)=
\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)\ \\
\begin{cases}
\frac{1}{|z|^2}=\frac{1}{2}\\
4\varphi=\frac{\pi}{2}
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{|z|^2}\left(\cos 4\varphi+i\sin 4\varphi\right)=
\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)\ \\
\begin{cases}
\frac{1}{|z|^2}=\frac{1}{2}\\
4\varphi=\frac{\pi}{2}
\end{cases}}\)