Obliczyć wartość wyrażenia
1.\(\displaystyle{ \left(2- \sqrt{3}+i \right) ^{12}}\)
2.\(\displaystyle{ \left( \frac{1-i \sqrt{3} }{1+i} \right) ^{12}}\)
Obliczyć wartość wyrażenia
-
paulincia88
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 14 paź 2007, o 23:00
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Główczyce
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1 raz
-
Wasilewski
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Obliczyć wartość wyrażenia
a) Sprowadzamy do postaci trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ a = 2 - \sqrt{3} \ \ b = 1 \\
|z| = \sqrt{8 - 4\sqrt{3}} = 2\sqrt{2 - \sqrt{3}} \\
cos\phi = \frac{a}{|z|} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2 - \sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} = cos \frac{5\pi}{12} \\
z = 2\sqrt{2 - \sqrt{3}}(cos\frac{5\pi}{12} + isin\frac{5\pi}{12})}\)
I teraz ze wzoru de Moivre'a:
\(\displaystyle{ z^{12} = 2^{12} \sqrt{2 - \sqrt{3}}^{12}(cos5\pi + isin5\pi) \\
z^{12} = 4096 (2-\sqrt{3})^{6} (cos5\pi + isin5\pi) = -4096(2-\sqrt{3})^{6}}\)
Mam nadzieję, że się nie pomyliłem.
\(\displaystyle{ a = 2 - \sqrt{3} \ \ b = 1 \\
|z| = \sqrt{8 - 4\sqrt{3}} = 2\sqrt{2 - \sqrt{3}} \\
cos\phi = \frac{a}{|z|} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2 - \sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} = cos \frac{5\pi}{12} \\
z = 2\sqrt{2 - \sqrt{3}}(cos\frac{5\pi}{12} + isin\frac{5\pi}{12})}\)
I teraz ze wzoru de Moivre'a:
\(\displaystyle{ z^{12} = 2^{12} \sqrt{2 - \sqrt{3}}^{12}(cos5\pi + isin5\pi) \\
z^{12} = 4096 (2-\sqrt{3})^{6} (cos5\pi + isin5\pi) = -4096(2-\sqrt{3})^{6}}\)
Mam nadzieję, że się nie pomyliłem.