mom-kol potęga liczb zespolonych

[kawafis44]

Rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych
b) \(\displaystyle{ (\frac{e^{i\frac{\pi}{4}}+1}{e^{i\frac{\pi}{4}}-1})^{2007}}\) - tego przykladu nie potrafie zupelnie
a) \(\displaystyle{ (z-1-i)^2=i}\) - i jesli mozecie jeszcze ten przyklad

pozdrawiam!

[andkom]

\(\displaystyle{ \left(\frac{e^{i\frac{\pi}4}+1}{e^{i\frac{\pi}4}-1}\right)^{2007}
=\left(\frac{(e^{i\frac{\pi}4}+1)e^{-i\frac{\pi}8}}{(e^{i\frac{\pi}4}-1)e^{-i\frac{\pi}8}}\right)^{2007}
=\left(\frac{e^{i\frac{\pi}8}+e^{-i\frac{\pi}8}}{e^{i\frac{\pi}8}-e^{-i\frac{\pi}8}}\right)^{2007}=\\
=\left(\frac{(\cos\frac{\pi}8+i\sin\frac{\pi}8)+(\cos\frac{\pi}8-i\sin\frac{\pi}8)}{(\cos\frac{\pi}8+i\sin\frac{\pi}8)-(\cos\frac{\pi}8-i\sin\frac{\pi}8)}\right)^{2007}=\\
=\left(\frac{2\cos\frac{\pi}8}{2i\sin\frac{\pi}8}\right)^{2007}
=\left(\frac{2\cos^2\frac{\pi}8}{2i\sin\frac{\pi}8\cos\frac{\pi}8}\right)^{2007}
=\left(\frac{1+\cos\frac{\pi}4}{i\sin\frac{\pi}4}\right)^{2007}=\\
=\left(\frac{1+\cos\frac{\pi}4}{\sin\frac{\pi}4}\right)^{2007}\left/i^{2007}\right.
=\left(\frac{1+\frac1{\sqrt2}}{\frac1{\sqrt2}}\right)^{2007}\left/(-i)\right.=\\
=i(\sqrt2+1)^{2007}}\)
Więcej nic sensownego z tym się nie zrobi (bo taki, a nie inny jest moduł potęgowanej na początku liczby).

[kawafis44]

dzięki!
poprawiłem już przykład w zadaniu z logarytmami.
pozdro!

[JankoS]

\(\displaystyle{ (z-1-i) ^{2}=i}\)
Nie wiem czy dobrze pamiętam, ale to chyba rozwiązuje się "normalnie". Trzeba tylko pamiętać, ze \(\displaystyle{ i ^{2}=1}\) i że równanie ma zawsze rozwiązanie.
\(\displaystyle{ z ^{2}+1+i ^{2}-2z-2zi+2i=i\\z ^{2}-2(1+i)z+i=0\\\Delta=4(1+2i+i ^{2})-4 i=4(1+2i+i ^{2})-4i=4i=(2 \sqrt{i} ) ^{2} } \\z _{1}=\frac{2+2i- 2\sqrt{i} }{2}=1+i- \sqrt{i} , z _{2}=\frac{2+2i+ 2\sqrt{i}}{2}=1+i+ \sqrt{i} .}\)
Prościej wypierwiastkować obydwie strony i wtedy\(\displaystyle{ z-1-i=- \sqrt{i}}\) lub \(\displaystyle{ z-1-i= \sqrt{i}}\) skąd wychodzi to samo.

[scyth]

Chyba raczej \(\displaystyle{ i^2=-1}\).

[JankoS]

Dziękuję Kolego scyth.. Nie "wstukał mi się" minus. Oczywiście\(\displaystyle{ i ^{2} =-1,}\) co też wstawiałem w rozwiązaniu. Pozdrawiam.

[scyth]

Można jeszcze uprościć (pozbyć się pierwiastka):
\(\displaystyle{ i=e^{i\frac{\pi}{2}} \\
\sqrt{i}=e^{i\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)}\)