Rozwiąż równanie

wolnytybet · Post autor: **wolnytybet** » 18 gru 2007, o 01:24

\(\displaystyle{ \left| z\right|^{4}}\)=\(\displaystyle{ \frac{\cos\phi}{\cos5\phi}}\)

Przyznam szczerze, że nie mam pojęcia jak się do tego zabrać, a nurtuje mnie to od kilku dni.

Qń · Post autor: Qń » 18 gru 2007, o 04:13

Równanie jest kolejno równoważne równaniom:

\(\displaystyle{ \left| z \right| ^{5} \cos 5 \varphi = ft| z \right| \cos \varphi}\)

\(\displaystyle{ Re ( ft| z \right| ^{5} (\cos 5 \varphi + i \sin 5\varphi )) = Re ( ft| z \right| ( \cos \varphi + i \sin \varphi ))}\)

\(\displaystyle{ Re ( ft| z \right| ^{5} (\cos \varphi + i \sin \varphi )^{5})) = Re( ft| z \right| ( \cos \varphi + i \sin \varphi ))}\)

Przyjmując więc \(\displaystyle{ z = ft| z \right| ( \cos \varphi + i \sin \varphi )}\) dostajemy równanie:

\(\displaystyle{ Re (z^{5}) = Re (z)}\)

Tu kończy się matematyka i zaczynają rachunki. Geometrycznie raczej ciężko to ruszyć, więc pozostaje podstawienie \(\displaystyle{ z = a + bi}\), po podniesieniu do piątej potęgi i przeniesieniu czego trzeba na jedną stronę wyszło mi równanie:

\(\displaystyle{ a ^{5} - 10a^{3}b^{2} +5ab^{4} - a = 0}\)

A rozwiązania wyszły jeszcze zabawniejsze:
\(\displaystyle{ z = bi}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ b}\) (gdy \(\displaystyle{ \cos \varphi = 0}\))
\(\displaystyle{ z = a i \sqrt{a^{2} + \sqrt{ \frac{4}{5}a^{2} + \frac{1}{5}}}\) (gdy \(\displaystyle{ a =\cos \varphi 0}\))

Sama słodycz .

Pozdrawiam.
Qń.

Aniolek · Post autor: **Aniolek** » 27 gru 2007, o 19:21

Ok rozumiem, że zrobiłes to z proporcji tylko dlaczego |z|cosphi

wolnytybet · Post autor: **wolnytybet** » 21 sty 2008, o 21:15

Ja może dodam, że oryginalna treść zadania to: rozwiąż równanie:

\(\displaystyle{ z^{5}=2Rez,}\) \(\displaystyle{ z Z}\)

Od momentu, który podałem w pierwszym poście tego wątku miało być już prosto i przyjemnie.