Mamy trzy liczby zespolone \(\displaystyle{ z_1}\), \(\displaystyle{ z_2}\), \(\displaystyle{ z_3}\), które w układzie tworzą trójkąt równoboczny.
Dowieść że:
\(\displaystyle{ (z_1)^2+(z_2)^2+(z_3)^2=z_1\cdot z_2+z_2\cdot z_3+z_1\cdot z_3}\)
Kompletnie nie mam pomysłu, także proszę o pomoc....
Dowieść równości. Trójkąt równoboczny w zespolonyc
-
Zlodiej
- Użytkownik
- Posty: 1910
- Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 108 razy
Dowieść równości. Trójkąt równoboczny w zespolonyc
Hmmm ... No niby nie mam pojęcia o zespolonych, ale z tego co czytałem to może tak to powinno wyglądać:
Ten trójkąt można sobie wsadzic w dowolne miejse w układzie współrzednych. Niech A=(-a,0), B=(a,0), C=(0,b). Wiadomo że \(\displaystyle{ z_1=-a}\), \(\displaystyle{ z_2=a}\), \(\displaystyle{ z_3=bi}\).
Przekształćmy równanie:
\(\displaystyle{ (z_1)^2+(z_2)^2+(z_3)^2=z_1\cdot z_2+z_1\cdot z_3+z_2\cdot z_3/ 2}\)
\(\displaystyle{ (z_1)^2-2z_1\cdot z_2+(z_2)^2+(z_1)^2-2z_1\cdot z_3+(z_3)^2+(z_2)^2-2z_2 z_3+(z_3)^2=0}\)
\(\displaystyle{ (z_1-z_2)^2+(z_1-z_3)^2+(z_2-z_3)^2=0}\)
Podstawiasz i masz:
\(\displaystyle{ 4a^2+a^2-2abi+b^2i^2+a^2+2abi+b^2i^2=0}\)
\(\displaystyle{ 3a^2=b^2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3}a=b}\)
A to jest prawdą, bo b jest wysokością trójkąta równobocznego o podstawie 2a.
Tylko kij wie czy wogóle dobrze myślałem ... sorki za wprowadzenie w ewentualny błąd
Ten trójkąt można sobie wsadzic w dowolne miejse w układzie współrzednych. Niech A=(-a,0), B=(a,0), C=(0,b). Wiadomo że \(\displaystyle{ z_1=-a}\), \(\displaystyle{ z_2=a}\), \(\displaystyle{ z_3=bi}\).
Przekształćmy równanie:
\(\displaystyle{ (z_1)^2+(z_2)^2+(z_3)^2=z_1\cdot z_2+z_1\cdot z_3+z_2\cdot z_3/ 2}\)
\(\displaystyle{ (z_1)^2-2z_1\cdot z_2+(z_2)^2+(z_1)^2-2z_1\cdot z_3+(z_3)^2+(z_2)^2-2z_2 z_3+(z_3)^2=0}\)
\(\displaystyle{ (z_1-z_2)^2+(z_1-z_3)^2+(z_2-z_3)^2=0}\)
Podstawiasz i masz:
\(\displaystyle{ 4a^2+a^2-2abi+b^2i^2+a^2+2abi+b^2i^2=0}\)
\(\displaystyle{ 3a^2=b^2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3}a=b}\)
A to jest prawdą, bo b jest wysokością trójkąta równobocznego o podstawie 2a.
Tylko kij wie czy wogóle dobrze myślałem ... sorki za wprowadzenie w ewentualny błąd
-
florek177
- Użytkownik
- Posty: 3018
- Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 322 razy
Dowieść równości. Trójkąt równoboczny w zespolonyc
Możliwości jest wiele. Oto inna propozycja.
\(\displaystyle{ \;z_{1}=a\;}\) ; \(\displaystyle{ \;z_{2}=a\cdot{e^{i\frac{2\pi}{3}}}\;}\) ; \(\displaystyle{ \;z_{3}=a\cdot{e^{-i\frac{2\pi}{3}}}\;}\)
\(\displaystyle{ \;z_{1}=a\;}\) ; \(\displaystyle{ \;z_{2}=a\cdot{e^{i\frac{2\pi}{3}}}\;}\) ; \(\displaystyle{ \;z_{3}=a\cdot{e^{-i\frac{2\pi}{3}}}\;}\)