rozwiąż równanie

[gdorota1]

1.\(\displaystyle{ (z+1)^{n}}\)+\(\displaystyle{ (z-1)^{n}}\)=0
2.\(\displaystyle{ (i+z)^{4}}\)+\(\displaystyle{ (i-z)^{4}}\)=0

[Grzegorz t]

a. rozpatrzyć, co się stanie, gdy n jest parzyste i nieparzyste, dla n parzystego podobne rozwiązanie jak w drugim przykładzie
b.
\(\displaystyle{ \begin{cases}z+i=0\\z-i=0\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ z=i z=-i}\)

[Qń]

Grzegorzu - przemyśl jeszcze to co napisałeś .

Drugie równanie najlepiej doprowadzić do prostszej postaci:
\(\displaystyle{ 2z ^{4} -12z ^{2} +2 = 0}\),
skąd już względnie łatwo wyliczyć cztery rozwiązania.

Na pierwsze nie mam innego pomysłu niż przekształcić je do postaci:
\(\displaystyle{ \left( \frac{z+1}{z-1} \right) ^{n} = -1}\).
Wyrażenie w nawiasie jest więc pierwiastkiem \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z \(\displaystyle{ -1}\), mamy więc:
\(\displaystyle{ \frac{z+1}{z-1} = \epsilon _{k}}\), gdzie
\(\displaystyle{ \epsilon _{k} = \cos ( \frac{\pi +2k\pi}{n}) + \sin ( \frac{\pi +2k\pi}{n})}\) dla \(\displaystyle{ k= 0, 1, 2, \ldots , n-1}\),
a stąd dostajemy \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków:
\(\displaystyle{ z = \frac{\epsilon _{k} +1}{\epsilon _{k} -1}}\).

Pozdrawiam.
Qń.