Pierwiastki liczb zespolonych/ gdzie zrobiłem błąd?

[karolW]

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2-2i}}\)

\(\displaystyle{ \left|z \right| =2 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos\phi= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\phi= -\frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

IV ćwiartka kąt \(\displaystyle{ \frac{7}{4} \pi}\)
Obliczam pierwszy pierwiastek


\(\displaystyle{ W_{0} =2(\cos \frac{7\pi}{12} +i\sin \frac{7\pi}{12})}\)
po wymnożeniu przez dwa wychodzi
\(\displaystyle{ \cos(\pi+ \frac{\pi}{6})+i\sin(\pi+ \frac{\pi}{6})}\)
czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot (- \sqrt{3} - 1)}\) tak mi właśnie wychodzi

a w odpowiedzi jest tak: \(\displaystyle{ W _{0} =- \frac{1}{2} ( \sqrt{3} -1)+ \frac{1}{2} ( \sqrt{3} +1)i}\)

[alia]

\(\displaystyle{ W_{0} =2(\cos \frac{7\pi}{12} +i\sin \frac{7\pi}{12})}\)
po wymnożeniu przez dwa wychodzi

po 1) A co ty mnożysz przez 2 ? Nie mów, że argument funkcji cosinus i sinus, bo na to wskazują Twoje dalsze wyliczenia. Przecież tak nie można!
po 2) A dlaczego mnożysz przez 2 ? Powinno być przez \(\displaystyle{ \sqrt[3]{|z|}=\sqrt[3]{2\sqrt{2}}=\sqrt[3]{(\sqrt{2})^3}=\sqrt{2}}\)
Dlatego
\(\displaystyle{ \cos\frac{7\pi}{12}=\cos{(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{12})}=-\sin{\frac{\pi}{12}}=\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}}{4}}\)
analogicznie dla sinusa i ostatecznie
\(\displaystyle{ w_{0}=\sqrt{2}*\left ((\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}}{4})+i(\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4})\right )=\frac{1}{2}(1-\sqrt{3})+\frac{i}{2}(1+\sqrt{3})}\)