\(\displaystyle{ z=(2-3i)^{4}}\)
Otóż mam takie równanie, i muszę znaleźć jego pierwiastki, oraz narysować rozwiązanie, wiem że odpowiedzi to:
z1=2-3i
z2=3+2i
z3=-2+3i
z4=-3-2i
i później rysuje się na osiach Im(z) Re(z), "kopnięty" kwadrat o współrzędnych wymienionych powyżej...
Ale dlaczego? (byłbym bardzo wdzięczny jeżeli rozwiązałby ktoś to krok po kroku bo nie wiem jak tamte liczby powstają) - domyślam się że z wzoru poniżej lecz może się mylę
\(\displaystyle{ z_{k}=\sqrt[n]{|z|}(\cos\frac{\alpha+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\alpha+2k\pi}{n})}\)
Poza tym chciałbym aby ktoś uprzejmy wytłumaczył mi jak wyliczyć kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) skoro:
\(\displaystyle{ \sin\alpha=\frac{b}{|z|}}\) gdzie \(\displaystyle{ b=\sqrt{-3}}\) ???
Jak znaleźć pierwiastki liczby zespolonej?
-
alia
- Użytkownik
- Posty: 102
- Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:39
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 23 razy
Jak znaleźć pierwiastki liczby zespolonej?
Rozumiem, że masz obliczyć
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{(2-3i)^4}}\) ?
Jeśli tak, to
1) pierwszy pierwiastek widać od razu \(\displaystyle{ w_0=2-3i}\)
2) pozostałe pierwiastki \(\displaystyle{ w_{k}}\)wyliczasz korzystając z pierwiastków z jedynki i wzoru
\(\displaystyle{ w_{k}=w_{0}*(\cos{\frac{2k\pi}{n}}+i\sin{\frac{2k\pi}{n}})}\)
gdzie n- stopień pierwistka, a k=1,2,...n
czyli
\(\displaystyle{ w_{1}=(2-3i)*(\cos{\frac{\pi}{2}}+i\sin{\frac{\pi}{2}})=(2-3i)*i=3+2i}\)
A co do drugiego pytania, to nie wiem skąd wziąłeś w miejscu b pierwiastek z liczby ujemnej ?
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{(2-3i)^4}}\) ?
Jeśli tak, to
1) pierwszy pierwiastek widać od razu \(\displaystyle{ w_0=2-3i}\)
2) pozostałe pierwiastki \(\displaystyle{ w_{k}}\)wyliczasz korzystając z pierwiastków z jedynki i wzoru
\(\displaystyle{ w_{k}=w_{0}*(\cos{\frac{2k\pi}{n}}+i\sin{\frac{2k\pi}{n}})}\)
gdzie n- stopień pierwistka, a k=1,2,...n
czyli
\(\displaystyle{ w_{1}=(2-3i)*(\cos{\frac{\pi}{2}}+i\sin{\frac{\pi}{2}})=(2-3i)*i=3+2i}\)
A co do drugiego pytania, to nie wiem skąd wziąłeś w miejscu b pierwiastek z liczby ujemnej ?
-
fakir110
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 8 gru 2007, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
Jak znaleźć pierwiastki liczby zespolonej?
Co do tego \(\displaystyle{ b=\sqrt{-3}}\) to biorę je z równania z=a+bi aby osiągnąć kąt alfa, aby wyznaczyć pierwiastki równania według wzoru który podałem powyżej (a alfa wyznaczam przez porównanie sin(alfa)=b/|z| i cos(alfa)=a/|z| )
Widzę jednak że da się to ominąć stosując twoją technikę, lecz ja jednak nie wiem skąd tak od razu wziąć W0...
Co do zadania zadania to mam wyznaczyć cztery pierwiastki równania które jest wypisane jako pierwsze w #1 poście (czy może ten wzór który podała alia jest wizualną interpretacją treści "policzenia czterech pierwiastków?)
Wszystko się zgadza tylko czy mógłby mi ktoś odpowiedzieć jak znaleźć W0? bo ja tego "bezpośrednio" nie widzę
z góry dzięki za pomoc, srry że nie piszę w tex'ie lecz chcę umieścić wiadomość jak najszybciej aby w miare możliwości szybko uzyskać odpowiedź pozdro
edit: czy może W0 to nic innego jak odczytany wynik bez tej potęgi ^4?
Widzę jednak że da się to ominąć stosując twoją technikę, lecz ja jednak nie wiem skąd tak od razu wziąć W0...
Co do zadania zadania to mam wyznaczyć cztery pierwiastki równania które jest wypisane jako pierwsze w #1 poście (czy może ten wzór który podała alia jest wizualną interpretacją treści "policzenia czterech pierwiastków?)
Wszystko się zgadza tylko czy mógłby mi ktoś odpowiedzieć jak znaleźć W0? bo ja tego "bezpośrednio" nie widzę
z góry dzięki za pomoc, srry że nie piszę w tex'ie lecz chcę umieścić wiadomość jak najszybciej aby w miare możliwości szybko uzyskać odpowiedź pozdro
edit: czy może W0 to nic innego jak odczytany wynik bez tej potęgi ^4?
-
alia
- Użytkownik
- Posty: 102
- Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:39
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 23 razy
Jak znaleźć pierwiastki liczby zespolonej?
Czy wiesz ile wynosi \(\displaystyle{ \sqrt[4]{3^4}}\) ?
Jeśli tak, to nic więcej tłumaczyć nie powinnam - analogicznie działa wyliczenie \(\displaystyle{ w_0}\)!
A co do tego drugiego.
Jeśli \(\displaystyle{ z=2-3i}\)
to \(\displaystyle{ a=2, b=-3}\), wtedy \(\displaystyle{ |z|=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}}\)
I \(\displaystyle{ \cos{\phi}=\frac{a}{|z|}=\frac{2}{\sqrt{13}}, \sin{\phi}=\frac{b}{|z|}=\frac{-3}{\sqrt{13}}}\)
Jakoś u mnie nie ma pierwiastków z liczb ujemnych. Ponadto wystąpienie takiego wyniku cosinusasinusa, dla którego odczytanie kąta jest praktycznie niemożliwe sugeruje, że metoda korzystania bezpośrednio ze wzoru nie będzie dobrym rozwiązaniem.
Jeśli tak, to nic więcej tłumaczyć nie powinnam - analogicznie działa wyliczenie \(\displaystyle{ w_0}\)!
A co do tego drugiego.
Jeśli \(\displaystyle{ z=2-3i}\)
to \(\displaystyle{ a=2, b=-3}\), wtedy \(\displaystyle{ |z|=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}}\)
I \(\displaystyle{ \cos{\phi}=\frac{a}{|z|}=\frac{2}{\sqrt{13}}, \sin{\phi}=\frac{b}{|z|}=\frac{-3}{\sqrt{13}}}\)
Jakoś u mnie nie ma pierwiastków z liczb ujemnych. Ponadto wystąpienie takiego wyniku cosinusasinusa, dla którego odczytanie kąta jest praktycznie niemożliwe sugeruje, że metoda korzystania bezpośrednio ze wzoru nie będzie dobrym rozwiązaniem.