równanie

[juvex]

proszę o rozwiązanie tekiego równania:
\(\displaystyle{ z ^{3} =(iz+1) ^{3}}\)

[sztuczne zęby]

\(\displaystyle{ z^3-(iz+1)^3=0 \\
(z(1-i)-1)(z^2+(iz^2+z)+(-z^2+2iz+1))=\\
z=\frac{1+i}{2} iz^2+(2i+1)z+1=0\\
\Delta=-3=( \sqrt{3} i)^2 \\
z=\frac{2+ \sqrt{3}-i}{2} z=\frac{2-\sqrt{3}-i}{2}}\)

[JankoS]

Metoda rozwiązania zaprezentowana powyżej dobra, gorzej z wykonaniem (chyba, że błędy są celowe?). A więc:
\(\displaystyle{ z ^{3} -(iz+1) ^{3}=[z-(iz+1)][z ^{2}+z(iz+1)+(iz+1) ^{2}]=\\(z-iz-1)(z ^{2}+iz ^{2}+z+i ^{2}z ^{2}+2iz+1) = [(1-i)z-1][iz ^{2} +(1+2i)z+1]=0}\).
Stąd:
(I) \(\displaystyle{ (1-i)z-1=0}\) lub (II) \(\displaystyle{ iz ^{2} +(1+2i)z+1=0}\).
Z (I) \(\displaystyle{ z _{1}=\frac{1}{1-i}}\).
Z (II)
\(\displaystyle{ \Delta=(1+2i) ^{2}-4i=1+4i+4i ^{2}-4i=1-4=-3=3i ^{2} ; \sqrt{\Delta}= \sqrt{3i ^{2} }=i \sqrt{3}.\\
z _{2}=\frac{-1-2i-i \sqrt{3} }{2},\\z _{3}=\frac{-1-2i+i \sqrt{3} }{2}.}\)