postać wykładnicza-mam pytanie...

[juvex]

mam taki przykład:
\(\displaystyle{ ( r e ^{ -i \varphi }) ^{6} =4r ^{4}}\)
wykonując obliczenia \(\displaystyle{ \varphi}\) wychodzi tak:
\(\displaystyle{ \frac{2k \pi }{-6}}\) a potem w zadaniu mam napisane że \(\displaystyle{ l=2k}\) i \(\displaystyle{ \varphi= \frac{l \pi}{3}}\)
i moje pytanie jest następujące gdzi się pojawił minus ???
na początku zadania mam zaznaczone że \(\displaystyle{ varphi [0,2 pi)}\) i może dlatego ten minus nie jest brany pod uwage, dobrze mówię ????

proszę o odpowiedz

[JankoS]

Nie wiem skąd Koledze wziął się minus. być może z faktu, iż Kolega nie uwzględnił parzystości funkcji cosinus (\(\displaystyle{ cos(-\alpha)=cos\alpha)}\). Skąd się wzięło \(\displaystyle{ l=2k}\)? - może w zadaniu jeszcze coś było. Spróbujmy rozwiązać.
Wracam do postaci trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ (r(cos(-\varphi)+isin(-\varphi)) ^{6}=4r ^{4}(cos0+isin0)\\r ^{6}(cos\varphi-isin\varphi) ^{6}=4r ^{4}(cos0+isin0)\\r ^{6}(cos6\varphi-isin6\varphi)=4r ^{4}(cos0+isin0)}\).
Stąd
\(\displaystyle{ r ^{2}=4,\\6\varphi=0+2k\pi}\).
Stąd i z warunku \(\displaystyle{ varphi [0,2pi)}\) mam 10 rozwiązań, tylko trzeba podobierać w pary:
\(\displaystyle{ r _{1}=-2,r _{2}=2,\varphi _{1}=\frac{\pi}{3},\varphi _{2}=\frac{2\pi}{3},\varphi _{3}=\pi,\varphi _{4}=\frac{4\pi}{3},\varphi _{5}=\frac{5\pi}{3}}\).