Rownianie

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
lled3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 198
Rejestracja: 13 paź 2007, o 22:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 53 razy
Pomógł: 4 razy

Rownianie

Post autor: lled3 »

jak rozwiazac takie rownanie ?
\(\displaystyle{ z ^{6} = (2+4i)^{6}}\)

wypada rozwiazac:

\(\displaystyle{ z = \sqrt[6]{ (2+4i) ^{6} }}\)

ale dla tej liczby nie mozna policzyc ladnego kata, by zapisac ja w postaci tryg.

--
edit
-poprawka
Ostatnio zmieniony 6 gru 2007, o 13:51 przez lled3, łącznie zmieniany 1 raz.
sztuczne zęby
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 623
Rejestracja: 24 maja 2006, o 17:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ..
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 110 razy

Rownianie

Post autor: sztuczne zęby »

Wystarczy zauważyć, że jednym z rozwiązań tego równania jest \(\displaystyle{ 2+4i}\) i pomnożyć je poźniej przez pierwiastki 6 stopnia z jedynki.
lled3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 198
Rejestracja: 13 paź 2007, o 22:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 53 razy
Pomógł: 4 razy

Rownianie

Post autor: lled3 »

a to tak zawsze mozna ? ze jak znajde jedno rozwiazanie z pierwiastka - to reszte otrzymam mnozac to rozwizania przez kolejnego stopnia pierwiastki z 1 ?
sztuczne zęby
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 623
Rejestracja: 24 maja 2006, o 17:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ..
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 110 razy

Rownianie

Post autor: sztuczne zęby »

Jak masz równania tego typu to tak.
JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

Rownianie

Post autor: JankoS »

Podejrzewam, że równanie miało postać\(\displaystyle{ z ^{6}=2+4i}\). gdyby było tak jak napisał Kolega, to nie byłoby czego liczyć.
Skupmy sie na \(\displaystyle{ z=\sqrt[6]{2+4i}}\).
Niech \(\displaystyle{ 2+4i=rcos\varphi+risin\varphi)}\).
Stąd
\(\displaystyle{ \begin{cases}rcos\varphi=2\\rsin\varphi=4\end{cases}}\)
Podnoszę stronami do kwadratu i dodaję stronami. Mam\(\displaystyle{ r ^{2}cos ^{2} \varphi+r ^{2}sin ^{2} \varphi=r ^{2}(cos ^{2} \varphi+sin ^{2} \varphi )=r ^{2}= 4+16=20}\).
Wyznaczam \(\displaystyle{ r,\ cos\varphi,\ sin\varphi}\).
\(\displaystyle{ r=2 \sqrt{5},\ cos\varphi=\frac{ \sqrt{5}}{5},\ sin\varphi=\frac{2 \sqrt{5}}{5}}\).Znajduję kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) spełaniający te warunki i mam
\(\displaystyle{ \ (*)\ 2+4i=2 \sqrt{5}(cos\alpha+sin\alpha )}\).
Podstawiam
\(\displaystyle{ (++) \sqrt[6]{2+4i} =\rho(cos\theta+isin\theta)\\2+4i=\rho ^{6}( cos\theta+isin\theta) ^{6}\)}.
Ze wzoru Moivre'a
\(\displaystyle{ \ (**)\ 2+4i=\rho ^{6}(cos6\theta+isin6\theta)}\).
Z (*) i (**) mam: \(\displaystyle{ \rho ^{6} =2 \sqrt{5},\ 6cos\theta=\alpha+2k\pi,\ 6sin\theta=\alpha+2k\pi}\). Nas interesują tylko wartości kąta dla \(\displaystyle{ k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}}\). Wyznaczam je i mam \(\displaystyle{ \theta _{0}, \theta _{1},... \theta _{5}}\). Podstawiam do (++) i mam 6 rozwiązań.
sztuczne zęby
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 623
Rejestracja: 24 maja 2006, o 17:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ..
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 110 razy

Rownianie

Post autor: sztuczne zęby »

Dlaczego uważasz, że nie ma czego liczyć? To jest równanie 6 stopnia i ma tyle też rozwiązań, a tylko jedno, a właściwie 2 są oczywiste.
JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

Rownianie

Post autor: JankoS »

Chyba się nie rozumiemy. Kolega napisał:\(\displaystyle{ z ^{6}= (2+4i) ^{6}}\), a poniżej \(\displaystyle{ z= \sqrt[6]{2+4i}}\). To drugie z pierwaszego nie wynika, miałem wybór wziąłem się za drugie. Teraz znowu to równanie, tzn:
\(\displaystyle{ z ^{6}= (2+4i) ^{6}}\).

Jak przedstawić liczbę 2+4i w postaci trygonometrycznej przedstawiłem w poprzednim poście.
Przyjmiemy, iż \(\displaystyle{ (2+4i=r(cos\alpha+isin\alpha)}\), gdzie \(\displaystyle{ r,\alpha}\), to konkretne wartości,które trzeba wyliczyć Przedstawiam szukane z w postaci trygonometryczneji i mam równanie:
\(\displaystyle{ (\rho (cos\theta+isin\theta)) ^{6} =(r(cos\alpha+isin\alpha)) ^{6}}\).
Stąd za Moivre'm:
\(\displaystyle{ \rho ^{6} (cos6\theta+isin6\theta) =r ^{6} (cos6\alpha+isin6\alpha)}\).
Równość zachodzi gdy \(\displaystyle{ \rho ^{6}=r ^{6}, 6\theta=6\alpha}\)
Stąd \(\displaystyle{ \rho=r}\) lub\(\displaystyle{ \rho=-r}\) i \(\displaystyle{ 6\theta=6\alpha+2k\pi\,gdzie\ k \in \{0,1,2,3,4,5\}}\). W wyniku dostaję 12 rozwiązań.
lled3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 198
Rejestracja: 13 paź 2007, o 22:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 53 razy
Pomógł: 4 razy

Rownianie

Post autor: lled3 »

mój błąd - oczywiscie tak ma byc:


[ Dodano: 6 Grudnia 2007, 14:53 ]
JankoS pisze:Podejrzewam, że równanie miało postać\(\displaystyle{ z ^{6}=2+4i}\). gdyby było tak jak napisał Kolega, to nie byłoby czego liczyć.
Skupmy sie na \(\displaystyle{ z=\sqrt[6]{2+4i}}\).
Niech \(\displaystyle{ 2+4i=rcos\varphi+risin\varphi)}\).
Stąd
\(\displaystyle{ \begin{cases}rcos\varphi=2\\rsin\varphi=4\end{cases}}\)
Podnoszę stronami do kwadratu i dodaję stronami. Mam\(\displaystyle{ r ^{2}cos ^{2} \varphi+r ^{2}sin ^{2} \varphi=r ^{2}(cos ^{2} \varphi+sin ^{2} \varphi )=r ^{2}= 4+16=20}\).
Wyznaczam \(\displaystyle{ r,\ cos\varphi,\ sin\varphi}\).
\(\displaystyle{ r=2 \sqrt{5},\ cos\varphi=\frac{ \sqrt{5}}{5},\ sin\varphi=\frac{2 \sqrt{5}}{5}}\).Znajduję kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) spełaniający te warunki i mam
\(\displaystyle{ \ (*)\ 2+4i=2 \sqrt{5}(cos\alpha+sin\alpha )}\).
Podstawiam
\(\displaystyle{ (++) \sqrt[6]{2+4i} =\rho(cos\theta+isin\theta)\\2+4i=\rho ^{6}( cos\theta+isin\theta) ^{6}\)}.
Ze wzoru Moivre'a
\(\displaystyle{ \ (**)\ 2+4i=\rho ^{6}(cos6\theta+isin6\theta)}\).
Z (*) i (**) mam: \(\displaystyle{ \rho ^{6} =2 \sqrt{5},\ 6cos\theta=\alpha+2k\pi,\ 6sin\theta=\alpha+2k\pi}\). Nas interesują tylko wartości kąta dla \(\displaystyle{ k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}}\). Wyznaczam je i mam \(\displaystyle{ \theta _{0}, \theta _{1},... \theta _{5}}\). Podstawiam do (++) i mam 6 rozwiązań.
a tak przy okazji co do zadania tej formie - rozumie wszystko - ale do momentu jak "podstawiasz" - mogbys podac jedno z rozwiazan np z1 ? skad bierzesz kat ?

uzalezniasz go od alfa ? - czy wyjdzie Ci konkretny kat ?
JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

Rownianie

Post autor: JankoS »

Dobrze, najpierw uwaga:jeżeli \(\displaystyle{ z ^{6}=t ^{6},\ to\ z= \mp t}\). i stąd chyba te dwa jak napisał Kolega oczywiste rozwiązania, ale to za mało.
Przedstawiam \(\displaystyle{ t=2+4i}\) w postaci trygonometrycznej.
\(\displaystyle{ t=2+4i=rcos\alpha+isin\alpha}\),
gdzie
\(\displaystyle{ r= \sqrt{20}=2 \sqrt{5}, cos\alpha=\frac{ \sqrt{5}} {5},\sin\alpha=\frac {2 \sqrt{5}}{5}}\) Stąd \(\displaystyle{ \alpha}\) równa się 63,4 stopnia lub 1,1 radiana. Będę się trzymał stopni, tylko nie umiem zaznaczać tego kółeczka.
Mam:
\(\displaystyle{ t=2 \sqrt{5}(cos63,4+isin63,4)}\). wracam do równania \(\displaystyle{ z ^{6}=(2 \sqrt{5}(cos63,4+isin63,4) ^{6}}\).
przedstawiam z w postaci trygonometrycznej i mam;
\(\displaystyle{ (\rho(cos\theta+isin\theta)) ^{6} =(2 \sqrt{5}(cos63,4+isin63,4) ^{6}}\).
Stosuję wzór Moivre'a
\(\displaystyle{ (\rho ^{6} (cos6\theta+isin6\theta) =(2 \sqrt{5}) ^{6} (cos6 \cdot 63,4+isin6 \cdot 63,4)=(2 \sqrt{5}) ^{6} (cos6 \cdot 63,4+isin6 \cdot 63,4)}\)
Stąd \(\displaystyle{ \rho=-2 \sqrt{5}\}\) lub \(\displaystyle{ \rho=2 \sqrt{5}}\) i \(\displaystyle{ 6\theta=6 \cdot 63,4+k360}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \{0,1,2,3,4,5\}}\), czyli \(\displaystyle{ \theta=63,4+k60}\).
Podstawiając kolejno k dostaję 12 rozwiązań, a mianowicie dla r dodatniego
\(\displaystyle{ z _{0}=2 \sqrt{5}(cos(63,4+0 \cdot 60)+isin(63,4+0 \cdot 60))\\z _{1}=2 \sqrt{5}(cos(63,4+1 \cdot 60)+isin(63,4+1 \cdot 60))\\z _{2}=2 \sqrt{5}(cos183,4+isin183,4)\\...\\z _{5}=2 \sqrt{5} (cos363,4+isin363,4}\).
W pozostałych sześciu rozwiązaniach wstawiam \(\displaystyle{ -2 \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ z _{7} =-2 \sqrt{5} (cos63,4+isin63,4)\\...\\z _{12}=-2 \sqrt{5}(cos363,4+isin363,4)}\).
Mam nadzieję, że się nie pomyliłem. Gdy stosujemy miarę łukową to \(\displaystyle{ \theta=1,1+\frac{k \cdot \pi}{3}}\).
It's all.
ODPOWIEDZ