Pierwiastki zespolone rownania 2

profesorq · Post autor: **profesorq** » 29 lis 2007, o 15:51

Znajdz wszystkie zespolone pierwiastki równania
\(\displaystyle{ (z^2+11)(z^3 + \frac{18}{1+i\sqrt{3}})=0}\)

głownie chodzi mi o ten drugi nawias

Szczech · Post autor: **Szczech** » 29 lis 2007, o 16:15

\(\displaystyle{ z^3 = \frac{18}{1+i\sqrt{3}} \frac{1-i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}} = \frac{ 18 - 18\sqrt{3} i}{1-i^2\cdot3}=\frac{18 - 18\sqrt{3} i}{4} = \frac{18}{4} - i\frac{18\sqrt{3}}{4}}\)
Można z definicji policzyć\(\displaystyle{ (x+iy)^3=\frac{18}{4} + \frac{18\sqrt{3}}{4}}\), a można też z postaci trygonometrycznej

profesorq · Post autor: **profesorq** » 29 lis 2007, o 16:24

a moglby ktos przedstawic to w postaci trygnometrycznej?

soku11 · Post autor: **soku11** » 29 lis 2007, o 16:28

\(\displaystyle{ \frac{18}{1+i\sqrt{3}}=\frac{18}{4}-i\frac{18\sqrt{3}}{4}=
\frac{9}{2}-i\frac{9\sqrt{3}}{2}=9(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})=
9(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})}\)

POZDRO

profesorq · Post autor: **profesorq** » 29 lis 2007, o 16:34

a jakie sa te pierwiastki?

soku11 · Post autor: **soku11** » 29 lis 2007, o 17:06

\(\displaystyle{ z^3=-9(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})=9(cos\frac{5\pi}{3}+ isin\frac{5\pi}{3})\\
z_k=\sqrt[3]{9} (cos\frac{\frac{5\pi}{3}+2k\pi}{3}+sin\frac{\frac{5\pi}{3}+2k\pi}{3})\ \ k\in\{0,1,2\}}\)

Podstaw do wzoru POZDRO

profesorq · Post autor: **profesorq** » 29 lis 2007, o 17:16

soku11 pisze:\(\displaystyle{ \frac{9}{2}-i\frac{9\sqrt{3}}{2}=9(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=}\)

POZDRO

dobrze to jest?

a tak wogole to jest blad na samym poczatku o minusie zapomniales przenoszac na druga strone nie?

soku11 · Post autor: **soku11** » 29 lis 2007, o 17:20

Hmpf... Wyciagnalem 9 przed nawias wiec nic zlego tutaj chyba nie ma POZDRO