Proste równanie lecz...

5artos · Post autor: **5artos** » 29 lis 2007, o 11:05

Witam
Mógłby ktoś rozwiązać mi takie równania:
(jak podstawie za z=x+yi to mi wychodzi kosmos tzn wychodzi ale skąplikowane da się inaczej)

\(\displaystyle{ z(z+3)=-10i}\)
\(\displaystyle{ z^{2}=\sqrt{2}i(z-6)}\)

z góry dzięki

scyth · Post autor: **scyth** » 29 lis 2007, o 11:12

skąplikowanie, co?
\(\displaystyle{ z=x+iy \\
z(z+3)=-10i \\
(x+iy)(x+3+iy)=-10i\\
x^2+3x+ixy+ixy+3iy-y^2=-10i \\
x^2+3x-y^2+i(2xy+3y)=-10i \\
\\
\begin{cases}
x^2+3x-y^2=0 \\
2xy+3y=-10
\end{cases} \\
(x=-4 y=2) (x=1 y=-2)}\)

5artos · Post autor: **5artos** » 29 lis 2007, o 12:35

No tak rzeczywiście trudne:) no dobra ale ten układ rozwiązywałeś, wyliczając z drugiego równanie np. y i wstawiając do pierwszego no i wtedy chyba wychodzą skomplikowane liczby.. ??

Derek · Post autor: **Derek** » 29 lis 2007, o 19:09

ten układ równań sie stosunkowo łatwo rozwiązuje gdy zauważysz że y nie może być zerem. Wynika to z tego 2xy+3y=-10. wtedy możesz podzielić prze y i masz x uzależniony od y. Wstawiasz go do tego drugiego równania i tam wymnażasz stronami przez y^2 co można robić bo y różne od zera. Otrzymujesz równanie dwukwadratowe i już sie fajnie liczy.

Można też inaczej to równanie rozwiązać.

\(\displaystyle{ z(z+3)=-10i}\)
\(\displaystyle{ z ^{2} +3z+10i=0}\) z tego licze delte D
\(\displaystyle{ D=9-40i=25-2 20i-16=5 ^{2} -2 5 4+(4i) ^{2} =(5-4i) ^{2}}\)
Z tego można już wywnioskować jakie są pierwiastki stopnia drugiego z delty. Teraz już wystarczu powstawiać do wzorów na pierwiastki z równania kwadratowego.