Równania i postać trygonometrzyna

[5artos]

Witam
Proszę o pomoc w takich zadankach:

Rozwiązać równanie:

1.\(\displaystyle{ z^{4}+2z^{2}-24z+72=0}\)
tutaj doszedłem do takich obliczeń że:
\(\displaystyle{ z^{4}=-2\cdot (z-6)^{2} \\ z^{4}=2i^{2}(z-6)^2 \\ z^{2}=\sqrt{2}i(z-6)}\)
i potem po podstawieniu za z=x+yi, porównując Rez i Imz zakopuje się wychodzą znowu równania 4 stopnia z x czy jest inna metoda na to ?? ??
2.\(\displaystyle{ z^{2}+2(1+i)z+2i=0}\)
3.\(\displaystyle{ (z+1)^{3}=\frac{\sqrt{3}+1}{-1+i\sqrt{3}}}\)

Znaleźć postać trygonometryczną:
4.\(\displaystyle{ z=(\frac{1-i}{1+i\sqrt{3}})^{3}}\)
w tym przykładzie wychodzi mi |z|=1/2 i następnie nie wiem jak policzyć kąt alfa
\(\displaystyle{ cos\alpha=(\frac{\sqrt{3}+1}{-2})}\)
z góry dzięki

[Rogal]

Idąc od tyłu. W czwartym przedstaw i licznik i mianownik w postaci trygonometrycznej, podziel i podnieś do trzeciej. Właśnie w tej kolejności.
W trzecim pozbądź się urojenia z mianownika, to co wyjdzie zapisz w postaci trygonometrycznej i skorzystaj z de Moivre'a.
W drugim przecież normalnie jak równanie kwadratowe, delta, te sprawy.
W pierwszym cwanie zrobiłeś, tylko nie zapominaj, że z równania
\(\displaystyle{ z^{4} = 2i^{2} (z-6)^{2}}\) wynikają DWA równania:
\(\displaystyle{ z^{2} = i \sqrt{2} (z-6) \vee z^{2} = -i \sqrt{2} (z-6)}\)
I teraz masz dwa równania kwadratowe do rozwiązania, zupełnie analogicznie jak tamto z punktu trzeciego.

[5artos]

No dobra ale w tym przykładzie postępuje tak jak we wskazówce udzielonej, i mi na samym początku jak obliczam |z| z całego wyrażenia wychodzą wartości z których później nie mogę wyprowadzić kąta a to jest niezbędne... oto równanie:

\(\displaystyle{ z^{6}=\frac{1-i}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3}-1)-i(\sqrt{3}+1)}{4}}\)
zatem:
\(\displaystyle{ |z|=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\)
czyli obliczając sin(x/z) wychodzi wartość na podstawie której nie da się policzyć wartości kąta... jak to wykonać trzeba rozbić na pierwiastek licznika i mianownika, tak też próbowałem ale to jest błędna raczej droga

[Rogal]

Co prawda nie za bardzo łapię, skąd się, co wzięło, ale jeśli byś skorzystał z naszego Kompendium, to odnalazłbyś bez trudu, że \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\)