Witam!
Mam prośbę o pomoc, być może mnie zaćmiło, ale niestety nie potrafię sobie z nimi poradzić. Przeszukałem forum i nie natrafiłem na nic co by mi rozjaśniło w głowie:(
Przeprowadź obliczenia i naszkicuj zbiór:
a) \(\displaystyle{ \lbrace z \mathbb{C} : 2 \bar z |z| ^2 = ( i \sqrt{ 3 } -1 ) z^{3} \rbrace}\)
Tu po obliczeniach ląduję z wyjątkowo skomplikowanym równaniem które nawet nie mam pojęcia jak ugryźć.
\(\displaystyle{ \lbrace z \mathbb{C} : z^3=i \frac{|z|^5}{z \bar z} \rbrace}\)
Jedno do czego doszedłem to uproszczenie do:
\(\displaystyle{ z^3 = i|z|^4}\)
Ale niestety nie mam zielonego pojęcia co z tym dalej zrobić:(
Dziękuję za wszelką pomoc!
Naszkicować zbiór
-
Rogal
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Naszkicować zbiór
Popraw zapis w tym pierwszym, bo ciężko się domyślić, co jest gdzie i najlepiej, gdybyś zamieścił swe rozwiązania - znacznie łatwiej i szybciej jest wtedy pomóc.
Naszkicować zbiór
Niech \(\displaystyle{ z = iy}\)
\(\displaystyle{ 2(x-yi)(x^2+y^2) = (i \sqrt{3} -1 )(x+yi)^3}\)
Po przekształceniach:
\(\displaystyle{ \frac{2(x-yi)(x^2+y^2)}{(x+yi)^3} = i \sqrt{3} -1}\)
Lewa strona po przekształceniach została doprowadzona do:
\(\displaystyle{ \frac{x^3-y^3+x^2yi -xy^2+(x-iy)^3}{(x+yi)^3} = i \sqrt{3} -1}\)
I tu już niestety utknąłem, co do podpunktu b to nie wiem zupełnie jak dalej ruszyć.
\(\displaystyle{ 2(x-yi)(x^2+y^2) = (i \sqrt{3} -1 )(x+yi)^3}\)
Po przekształceniach:
\(\displaystyle{ \frac{2(x-yi)(x^2+y^2)}{(x+yi)^3} = i \sqrt{3} -1}\)
Lewa strona po przekształceniach została doprowadzona do:
\(\displaystyle{ \frac{x^3-y^3+x^2yi -xy^2+(x-iy)^3}{(x+yi)^3} = i \sqrt{3} -1}\)
I tu już niestety utknąłem, co do podpunktu b to nie wiem zupełnie jak dalej ruszyć.
-
Rogal
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Naszkicować zbiór
No, od razu się przyjemniej czyta : )
Weźmy więc to zadanko z podpunktu a). Zauważmy, że zero spełnia to równanie i załóżmy teraz, że z jest różne od zera. Pomnóżmy stronami przez z - wtedy z razy z sprzężone daje nam moduł z zet do kwadratu, czyli mamy:
\(\displaystyle{ 2|z|^{4} = 2(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) z^{4}}\)
Wiemy, że każdą liczbę zespoloną można zapisać w postaci trygonometrycznej, czyli podstawmy z = |z|(\cos \phi + i \sin \phi). Zamieńmy również to coś w nawiasie w postać trygonometryczną:
\(\displaystyle{ |z|^{4} = (\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}) |z|^{4} (\cos 4\phi + i \sin 4\phi) \\ 1 = \cos (4\phi + \frac{2\pi}{3}) + i \sin (4\phi + \frac{2\pi}{3}) \\ \cos 0 + i \sin 0 = \cos (4\phi + \frac{2\pi}{3}) + i \sin (4\phi + \frac{2\pi}{3})}\)
Skorzystaliśmy oczywiście ze wzoru de Moivre'a i z tego, że moduł z zet jest różny od zera. Teraz wiemy, że dwie liczby zespolone są równe, kiedy ich części rzeczywiste i urojone są odpowiednio równe. W przypadku naszych cosinusów i sinusów, wystarczy porównać kąty, gdyż wystarczy nam znaleźć argument główny, nie musimy się przejmować okresowością. Stąd widać, że \(\displaystyle{ 4\phi + \frac{2\pi}{3} = 0 \\ \phi = -\frac{\pi}{6}}\). Ponieważ akurat złośliwie kąt wyszedł ujemny, to sobie go zwiększmy o okres, czyli ostatecznie \(\displaystyle{ \phi = \frac{11\pi}{6}}\).
Jeśli zaś chodzi o interpretację geometryczną czegoś takiego, no to nietrudno zauważyć, że będą to wszystkie liczby zespolone leżące na prostej wychodzącej z punktu 0,0 (on sam też, bo to sprawdziliśmy) i kąt skierowany tej prostej wynosi fi.
W podpunkcie b) dobrze zacząłeś to robić, tylko nie zapominaj, że liczba z razy jej sprzężenie to jest kwadrat modułu! Wtedy podstaw tak samo jak ja w a) i wyjdzie ślicznie ; )
Weźmy więc to zadanko z podpunktu a). Zauważmy, że zero spełnia to równanie i załóżmy teraz, że z jest różne od zera. Pomnóżmy stronami przez z - wtedy z razy z sprzężone daje nam moduł z zet do kwadratu, czyli mamy:
\(\displaystyle{ 2|z|^{4} = 2(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) z^{4}}\)
Wiemy, że każdą liczbę zespoloną można zapisać w postaci trygonometrycznej, czyli podstawmy z = |z|(\cos \phi + i \sin \phi). Zamieńmy również to coś w nawiasie w postać trygonometryczną:
\(\displaystyle{ |z|^{4} = (\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}) |z|^{4} (\cos 4\phi + i \sin 4\phi) \\ 1 = \cos (4\phi + \frac{2\pi}{3}) + i \sin (4\phi + \frac{2\pi}{3}) \\ \cos 0 + i \sin 0 = \cos (4\phi + \frac{2\pi}{3}) + i \sin (4\phi + \frac{2\pi}{3})}\)
Skorzystaliśmy oczywiście ze wzoru de Moivre'a i z tego, że moduł z zet jest różny od zera. Teraz wiemy, że dwie liczby zespolone są równe, kiedy ich części rzeczywiste i urojone są odpowiednio równe. W przypadku naszych cosinusów i sinusów, wystarczy porównać kąty, gdyż wystarczy nam znaleźć argument główny, nie musimy się przejmować okresowością. Stąd widać, że \(\displaystyle{ 4\phi + \frac{2\pi}{3} = 0 \\ \phi = -\frac{\pi}{6}}\). Ponieważ akurat złośliwie kąt wyszedł ujemny, to sobie go zwiększmy o okres, czyli ostatecznie \(\displaystyle{ \phi = \frac{11\pi}{6}}\).
Jeśli zaś chodzi o interpretację geometryczną czegoś takiego, no to nietrudno zauważyć, że będą to wszystkie liczby zespolone leżące na prostej wychodzącej z punktu 0,0 (on sam też, bo to sprawdziliśmy) i kąt skierowany tej prostej wynosi fi.
W podpunkcie b) dobrze zacząłeś to robić, tylko nie zapominaj, że liczba z razy jej sprzężenie to jest kwadrat modułu! Wtedy podstaw tak samo jak ja w a) i wyjdzie ślicznie ; )
-
Skoora
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 27 sie 2007, o 11:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek/Rzeszów
- Podziękował: 2 razy
Naszkicować zbiór
Witam!!
Bardzo proszę o pomoc. Spędziałem już kilka ładnych godzin nad liczbami zespolonymi jednak zadanie typu:
Zaznaczyć zbiór na płaszczyźnie \(\displaystyle{ | \frac{z}{i}-2-3i| ^{2} qslant Re|z ^{2}|+2|Im z| ^{2} +9}\)
przerosło moje możliwości. Wstyd się przyznać ale nawet nie wiem jak sie do niego zabrać.
POZDRAWIAM
Bardzo proszę o pomoc. Spędziałem już kilka ładnych godzin nad liczbami zespolonymi jednak zadanie typu:
Zaznaczyć zbiór na płaszczyźnie \(\displaystyle{ | \frac{z}{i}-2-3i| ^{2} qslant Re|z ^{2}|+2|Im z| ^{2} +9}\)
przerosło moje możliwości. Wstyd się przyznać ale nawet nie wiem jak sie do niego zabrać.
POZDRAWIAM