Zadanie z cosinusami

[gam]

Czy potrafi to ktoś udowodnić? Ja robiłam to ze wzoru na cos liczby zespolonej, a potem z sum dla ciągów geometrycznych,ale dochodzę do martwego punktu i ... ani rusz. proszę o pomoc.

\(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{11} +\cos \frac{3\pi}{11}+\cos \frac{5\pi}{11}+\cos \frac{7\pi}{11}+\cos \frac{9\pi}{11} = \frac{1}{2}}\)

[jarekp]

\(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{11} +\cos \frac{3\pi}{11}+\cos \frac{5\pi}{11}+\cos \frac{7\pi}{11}+\cos \frac{9\pi}{11} =-(cos \frac{10\pi}{11} +cos \frac{8 \pi}{11}+cos \frac{6 \pi}{11}+cos \frac{4 \pi}{11}+cos \frac{ 2 \pi}{11})}\)

teraz wykorzystamy wzór
\(\displaystyle{ 1+cosx+cos2x+...+cosnx=\frac {sin\frac{(n+1)x}{2} cos\frac{nx}{2}}{sin\frac{x}{2}}}\)

podstawiając tutaj \(\displaystyle{ x=\frac{2 \pi}{11}}\) i \(\displaystyle{ n=5}\) otrzymujemy

\(\displaystyle{ 1+cos \frac{2\pi}{11} +cos \frac{4 \pi}{11}+cos \frac{6 \pi}{11}+cos \frac{8 \pi}{11}+cos \frac{ 10 \pi}{11} =\frac {sin\frac{(5+1)\frac{2 \pi}{11}}{2} cos\frac{5 \frac{2 \pi}{11}}{2}}{sin\frac{\frac{2 \pi}{11}}{2}}= \frac{sin\frac{6 \pi}{11} cos\frac{5 \pi}{11}}{sin\frac{ \pi}{11}}=\frac{sin(\frac{6 \pi}{11}+ \frac{5 \pi}{11})+sin(\frac{6 \pi}{11}-\frac{5 \pi}{11})}{2sin\frac{ \pi}{11}}=\frac{1}{2}}\)

a więc \(\displaystyle{ 1+cos \frac{2\pi}{11} +cos \frac{4 \pi}{11}+cos \frac{6 \pi}{11}+cos \frac{8 \pi}{11}+cos \frac{ 10 \pi}{11} =-\frac{1}{2}}\)

czyli \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{11} +\cos \frac{3\pi}{11}+\cos \frac{5\pi}{11}+\cos \frac{7\pi}{11}+\cos \frac{9\pi}{11} =-(cos \frac{10\pi}{11} +cos \frac{8 \pi}{11}+cos \frac{6 \pi}{11}+cos \frac{4 \pi}{11}+cos \frac{ 2 \pi}{11})=\frac{1}{2}}\) c.n.u

[robin5hood]

Wez \(\displaystyle{ z = cos(\frac{\pi}{11}) + i sin(\frac{\pi}{11})}\) Wtedy Twoja szukana suma wynosi właśnie \(\displaystyle{ Re ( z + z^3 + z^5 + z^7 + z^9)}\)
Teraz skorzystaj z sumy ciągu geometrycznego, skorzystaj ze wzoru de Moivre'a, dalej kilka już prostych przekształceń trygonometrycznych i masz wynik