udowodnić, że dla dowolnych liczb zespolonych \(\displaystyle{ z_1,z_2}\) prawdziwe są następujące relacje :
\(\displaystyle{ 1. |z_1+z_2| qslant |z_1|+|z_2| \newline
2. |z_1-z_2| qslant |z_1|+|z_2| \newline
3. |z_1-z_2| qslant | |z_1| - |z_2| |}\)
relacje na module liczb zespolonych - dowody
-
sea_of_tears
- Użytkownik
- Posty: 1641
- Rejestracja: 2 lis 2007, o 20:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Śląsk
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 548 razy
-
Derek
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 10 lut 2005, o 19:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Żużela
- Pomógł: 1 raz
relacje na module liczb zespolonych - dowody
1)\(\displaystyle{ \left|z _{1}+z _{2} \right| qslant ft|z _{1} \right| + ft|z _{2} \right|}\)
niech \(\displaystyle{ z _{1} =a _{1} +b _{1} i, z _{2} =a _{2} +b _{2} i}\)
\(\displaystyle{ z _{1}+z _{2}=a _{1}+a _{2}+(b _{1}+b _{2})i}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(a _{1}+a _{2}) ^{2}+ (b _{1}+b _{2}) ^{2} } qslant \sqrt{a _{1} ^{2}+b _{1} ^{2} } +\sqrt{a _{2} ^{2}+b _{2} ^{2} }}\)
nierówność podnosimy do kwadratu (wyrazy są dodatnie) i wymnażamy
\(\displaystyle{ a _{1} ^{2} +2a _{1} a _{2} +a _{2} ^{2} +b _{1} ^{2} +2b _{1} b _{2} +b _{2} ^{2} qslant a _{1} ^{2} +b _{1} ^{2} +2 \sqrt{(a _{1} ^{2} +b _{1} ^{2})(a _{2} ^{2} +b _{2} ^{2})} +a _{2} ^{2} +b _{2} ^{2}}\)
\(\displaystyle{ a _{1} a _{2} +b _{1} b _{2} qslant \sqrt{(a _{1} ^{2} +b _{1} ^{2})(a _{2} ^{2} +b _{2} ^{2})}}\)
podnosisz znowu do kwadratu i powinno wyjść coś takiego
\(\displaystyle{ 0 qslant (a _{1} b _{2} -b _{1} a _{2} ) ^{2}}\) co jest prawdą
3)
\(\displaystyle{ \left|z _{1} \right| = ft|z _{1}-z _{2}+z _{2} \right| qslant ft|z _{1}-z _{2} \right| + ft|z _{2} \right|}\) z 1)
\(\displaystyle{ \left|z _{1} \right| - ft|z _{2} \right| qslant ft|z _{1}-z _{2} \right|}\)
\(\displaystyle{ \left|z _{2} \right| = ft|z _{2}-z _{1}+z _{1} \right| qslant ft|z _{2}-z _{1} \right| + ft|z _{1} \right|}\)
\(\displaystyle{ -\left|z _{1}-z _{2} \right| qslant ft|z _{1} \right| - ft|z _{2} \right|}\)
\(\displaystyle{ -\left|z _{1}-z _{2} \right| qslant ft|z _{1} \right| - ft|z _{2} \right| qslant ft|z _{1}-z _{2} \right|}\)
\(\displaystyle{ \left|\left|z _{1} \right| - ft|z _{2} \right| \right| qslant ft|z _{1}-z _{2} \right|}\)
a w 2) to mi sie wydaje że nierówność powinna być w drugą stronę. Wtedy jest to prosty wniosek z 1)
niech \(\displaystyle{ z _{1} =a _{1} +b _{1} i, z _{2} =a _{2} +b _{2} i}\)
\(\displaystyle{ z _{1}+z _{2}=a _{1}+a _{2}+(b _{1}+b _{2})i}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(a _{1}+a _{2}) ^{2}+ (b _{1}+b _{2}) ^{2} } qslant \sqrt{a _{1} ^{2}+b _{1} ^{2} } +\sqrt{a _{2} ^{2}+b _{2} ^{2} }}\)
nierówność podnosimy do kwadratu (wyrazy są dodatnie) i wymnażamy
\(\displaystyle{ a _{1} ^{2} +2a _{1} a _{2} +a _{2} ^{2} +b _{1} ^{2} +2b _{1} b _{2} +b _{2} ^{2} qslant a _{1} ^{2} +b _{1} ^{2} +2 \sqrt{(a _{1} ^{2} +b _{1} ^{2})(a _{2} ^{2} +b _{2} ^{2})} +a _{2} ^{2} +b _{2} ^{2}}\)
\(\displaystyle{ a _{1} a _{2} +b _{1} b _{2} qslant \sqrt{(a _{1} ^{2} +b _{1} ^{2})(a _{2} ^{2} +b _{2} ^{2})}}\)
podnosisz znowu do kwadratu i powinno wyjść coś takiego
\(\displaystyle{ 0 qslant (a _{1} b _{2} -b _{1} a _{2} ) ^{2}}\) co jest prawdą
3)
\(\displaystyle{ \left|z _{1} \right| = ft|z _{1}-z _{2}+z _{2} \right| qslant ft|z _{1}-z _{2} \right| + ft|z _{2} \right|}\) z 1)
\(\displaystyle{ \left|z _{1} \right| - ft|z _{2} \right| qslant ft|z _{1}-z _{2} \right|}\)
\(\displaystyle{ \left|z _{2} \right| = ft|z _{2}-z _{1}+z _{1} \right| qslant ft|z _{2}-z _{1} \right| + ft|z _{1} \right|}\)
\(\displaystyle{ -\left|z _{1}-z _{2} \right| qslant ft|z _{1} \right| - ft|z _{2} \right|}\)
\(\displaystyle{ -\left|z _{1}-z _{2} \right| qslant ft|z _{1} \right| - ft|z _{2} \right| qslant ft|z _{1}-z _{2} \right|}\)
\(\displaystyle{ \left|\left|z _{1} \right| - ft|z _{2} \right| \right| qslant ft|z _{1}-z _{2} \right|}\)
a w 2) to mi sie wydaje że nierówność powinna być w drugą stronę. Wtedy jest to prosty wniosek z 1)