Rozwiązać równanie

[McGoof]

Dane są równania:
\(\displaystyle{ z ^{2}+ (1+i)z+ i=0}\)
i:
\(\displaystyle{ z^{4}+ 3z^{2}-4=0}\)
Rozwiąż

[sea_of_tears]

\(\displaystyle{ z^4+3z^2-4=0 \newline
x^2 = t \newline
t^2+3t-4=0 \newline
(t+4)(t-1)=0 \newline
(x^2+4)(z^2-1)=0 \newline
(z^2+4)(z-1)(z+1)=0 \newline
z^2+4=0 \newline
z^2=-4 \newline
z=2i, z=-2i \newline
(z-2i)(z+2i)(z-1)(z+1)=0}\)

[McGoof]

Jeszcze tylko taki ask. W mojej przygodzie z liczbami zespolonymi napotkałem się na takie wyrażenie: \(\displaystyle{ \left|2z\right|^{2}}\). Jak je interpretować? Jako wartośc bezwzględną czy moduł liczby zespolonej? I skoro jest 2z to jak to zapisać?

[sea_of_tears]

jako moduł liczby zespolonej
\(\displaystyle{ z=a+bi \newline
2z=2a+2bi \newline
|2z|^2=\sqrt{(2a)^2+(2b)^2}^2=(2\sqrt{a^2+b^2})^2=4(a^2+b^2)}\)

[McGoof]

Dzięki ponownie Żebym był jeszcze bardziej męczący, kolejne pytanie. Co zrobić gdy w równaniu czwartego stopnia (konkretnie: \(\displaystyle{ z^{4}+6iz^{2}-8}\)) wychodzi mi ujemna delta? Jakim sposobem mogę to policzyć?

[sea_of_tears]

rozwiążę Ci jeszcze pierwszy przykład z tematu :
\(\displaystyle{ z ^{2}+ (1+i)z+ i=0 \newline
\Delta=(1+i)^2-4i=-2i \newline
\sqrt{\Delta} : \newline
-2i=2(cos(\frac{3}{2}\Pi)+i sin(\frac{3}{2}\Pi})) \newline
\sqrt{\Delta}=\sqrt{2}(cos(\frac{3}{4}\Pi)+i sin(\frac{3}{4}\Pi))=\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})=-1+i \newline
z_1=\frac{-1-i-(-1+i)}{2}=-i \newline
z_2=\frac{-1-i+(-1+i)}{2}=-1}\)
w taki sposób można rozwiązać każdy przykład gdy delta wychodzi z i albo jest ujemna

[McGoof]

Tylko że w równaniu wyżej (tym z^4 +6iz^2 -8=0) dochodzę do tego:
\(\displaystyle{ z^{2}=2i z^{2}=-4i}\)
i nie wiem co dalej. Próbowałem wykorzystać postać a+bi ale nie wychodzi mi żadne rozwiązanie...

[soku11]

Podpowiedz:
\(\displaystyle{ 2i=2(cos\frac{\pi}{2}+sin\frac{\pi}{2})\\
-4i=4(cos\frac{3\pi}{2}+isin\frac{3\pi}{2})}\)

I wzor Moivre'a i masz 4 pierwiastki POZDRO