Oblicz - 3 przykłady

[tomaszson]

1.\(\displaystyle{ (2+i)^{7} - (2-i)^{7}}\) Wykorzystac fakt, ze jest to roznica liczb sprzezonych.

2.\(\displaystyle{ \frac{1+i\tan\alpha}{1-i\tan\alpha}}\)

3.\(\displaystyle{ \frac{(1-i)^{5}-1}{(1+i)^{5}+1}}\) Skorzystac z dwumianu newtona




Fajnie wyszlo jak za 1 razem ;]

[Sir George]

1. można tak:
\(\displaystyle{ (2+i)^{7} - (2-i)^{7}\ =\ 2i\text{Im}(2+i)^7\ =\ \ldots\ =\ -58i}\)
a można i tak:
\(\displaystyle{ (2+i)^{7} - (2-i)^{7}\ =\ \Big((2+i)-(2-i)\Big)\Big((2+i)^6+(2+i)^5(2-i)+ \ldots +(2-i)^6\Big)\ =\ 2i\Big((2+i)^6+(2-i)^6+|2+i|^2\big((2+i)^4+(2-i)^4\big) +|2+i|^4\big((2+i)^2+(2-i)^2\big)+|2+i|^6\Big)\ =\ \ldots}\)
i skorzystać z \(\displaystyle{ (2+i)(2-i)\,=\,|2+i|^2\,=\,5}\)

2.
\(\displaystyle{ \frac{1+i\text{tg}\alpha}{1-i\text{tg}\alpha}\ =\ \frac{\cos\alpha+i\sin\alpha}{\cos\alpha-i\sin\alpha}\\ \ =\ (\cos\alpha+i\sin\alpha)^2\ =\ \cos2\alpha+i\sin2\alpha}\)

[tomaszson]

A mozna jakis komentarz do zadania 1

i w 2 chyba niema tangensow??

[Sir George]

w 2 chyba niema tangensow??

Są, tylko TEX mi ich nie przyjął... już poprawiłem...

A można jakiś komentarz do zadania 1

Można... zastosuj wzory skróconego mnożenia... (a dokładniej wzór na różnicę potęg o tym samym wykładniku)