Korzystając ze wzoru de Moivre'a wyprowadzić wzory na \(\displaystyle{ \newline
cos(n\varphi) \newline sin(n\varphi) \newline}\) dla \(\displaystyle{ n \geqslant 2}\)
Byłabym wdzięczna za chociaż jeden, bo drugi zapewne robi się podobnie, ale u mnie zero pomysłow...
wzór de Moivre'a cosinus i sinus
-
sea_of_tears
- Użytkownik
- Posty: 1641
- Rejestracja: 2 lis 2007, o 20:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Śląsk
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 548 razy
-
andkom
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
wzór de Moivre'a cosinus i sinus
\(\displaystyle{ \cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)=(\cos\varphi+i\sin\varphi)^n=\\
=\sum_{k=0}^n\binom nki^k\sin^k\varphi\cos^{n-k}\varphi=\\
=\sum_{m=0}^{[n/2]}\binom n{2m}(-1)^m\sin^{2m}\varphi\cos^{n-2m}\varphi
+i\sum_{m=0}^{[(n-1)/2]}\binom n{2m+1}(-1)^m\sin^{2m+1}\varphi\cos^{n-2m-1}\varphi}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \cos(n\varphi)=\sum_{m=0}^{[n/2]}\binom n{2m}(-1)^m\sin^{2m}\varphi\cos^{n-2m}\varphi}\)
oraz
\(\displaystyle{ \sin(n\varphi)=\sum_{m=0}^{[(n-1)/2]}\binom n{2m+1}(-1)^m\sin^{2m+1}\varphi\cos^{n-2m-1}\varphi}\)
[x] oznacza część całkowitą liczby x.
=\sum_{k=0}^n\binom nki^k\sin^k\varphi\cos^{n-k}\varphi=\\
=\sum_{m=0}^{[n/2]}\binom n{2m}(-1)^m\sin^{2m}\varphi\cos^{n-2m}\varphi
+i\sum_{m=0}^{[(n-1)/2]}\binom n{2m+1}(-1)^m\sin^{2m+1}\varphi\cos^{n-2m-1}\varphi}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \cos(n\varphi)=\sum_{m=0}^{[n/2]}\binom n{2m}(-1)^m\sin^{2m}\varphi\cos^{n-2m}\varphi}\)
oraz
\(\displaystyle{ \sin(n\varphi)=\sum_{m=0}^{[(n-1)/2]}\binom n{2m+1}(-1)^m\sin^{2m+1}\varphi\cos^{n-2m-1}\varphi}\)
[x] oznacza część całkowitą liczby x.