zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej

[juvex]

nie wiem jak to zrobić:
a) \(\displaystyle{ 3(\overline{z})^{4}=|z|^{5}}\)

b) \(\displaystyle{ 0 \leqslant Re(i \cdot z)}\)

[scyth]

a)
skorzystam z postaci wykładniczej: \(\displaystyle{ z=|z|e^{i\varphi}, \ \overline{z}=|z|e^{-i\varphi}}\)
\(\displaystyle{ 3(\overline{z})^4=|z|^5 \\
3\left( |z|e^{-i\varphi} \right)^4=|z|^5 \\
3|z|^4 e^{-4i\varphi}=|z|^5 \\
|z|^4 \left(|z|-3e^{-4i\varphi} \right)=0 \\
|z|=0 |z|=3e^{-4i\varphi}}\)
Z pierwszego równania \(\displaystyle{ z=0}\). Drugi jest ciekawy, więc rozpatrujemy go dalej:
\(\displaystyle{ |z|=3e^{-4i\varphi} \\
|z|=3 e^{-4i\varphi}=1 \\
\\
\varphi=0, \ z=3 \\
\varphi=\frac{\pi}{2}, \ z=3i \\
\varphi=\pi, \ z=-3 \\
\varphi=\frac{3\pi}{2}, \ z=-3i \\}\)

b)
Rozpisz sobie z=x+iy i popatrz na wynik

Jakby co to pisz, teraz muszę lecieć, odpowiem potem jak będzie trzeba.

[revell]

Mam pytanie, dlaczego jest \(\displaystyle{ |z|=3\wedge e^{-4i\varphi}}\)?

[scyth]

jakie wartoście przyjmuje funkcja \(\displaystyle{ e^{i\varphi}}\)? Jest to okrąg jednostkowy na płaszczyźnie zespolonej.

[juvex]

scyth pomoc w formie rysunku jest tez mi bardzo potrzebna, nie wiem jak to narysowac

[scyth]

w a) masz 4 punkty - wypisałem je więc myślę, że będziesz umiał je zaznaczyć.

b)
\(\displaystyle{ z=x+iy \\
\Re(iz)=\Re(ix-y)=-y \\
0\leq -y < 1 \\
-1 < y \leq 0}\)
Zatem szukany obszar to "pas" od x=-1 do x=0 (z włączeniem tej prostej).

[juvex]

scyth dzięki za pomoc czyli w b) to tak powinno wyglądać ?

[scyth]

no prawie, cały pas a nie odcinek
No i się pomyłiłem, bo ma być oczywiście y=-1 i y=0 jako ograniczenia - to widać z ostatniej nierówności. Zachodzi to dla wszystkich x.

[juvex]

tak zgadza się bo wcześniej zrobiłem dla x.
Wielkie dzięki

[scyth]

Obrazek wygasł

Obszar między zieloną i niebieską, z tym, że zielona też należy.

[juvex]

Dzięki