Polar representation exercises

[dreake]

1. Describe the following regions geometricaly

a) \(\displaystyle{ Arg z=\frac{\Pi}{6}, |z|>1}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{\Pi}{4}}\)

[soku11]

1.
a) Ze srodka, czyli z=0 rysujesz polprosta nachylona pod katem \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\) do os \(\displaystyle{ \Re z}\). Nastepnie zaznaczasz okrag o promieniu 1 rowniez z punktu (0,0). Obszar poza nim bedzie oznaczal |z|>1. Czescia wspolna bedzie wiec dalsza czesc polprostej lezaca poza okregiem.

b) Podobne jak pierwsza czynnosc w pierszym. Z punktu z=0 zaznaczasz dwie polproste pod katem \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) i \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\). Obszar miedzy nimi (i bez nich) to szukany obszar.

c) Znow to prawie to samo Jak zwykle dwie polproste o podanych katach z z=0. Wyjdza takie dwie pierwsze cwiartki ukladu bez osi. |z+i|=2 oznacza okrag o srodku w punkcie (0,-i) i promieniu 2. Wszystko poza nim bedzie wiec nalezalo do tej nierownosci (|z+i|>2). Wyciagasz pozniej tylko czesc wspolna.

d) |z-1| - srodek okregu w punkcie (1,0). 1


3.
\(\displaystyle{ w^6=8=8(cos0+isin0)\\
w_k=\sqrt[6]{8}(cos\frac{0+2k\pi}{6}+isin\frac{0+2k\pi}{6})=
\sqrt[6]{8}(cos\frac{k\pi}{3}+isin\frac{k\pi}{3})\quad k\in\{0,1,2,3,4,5\} \\
w_0=\sqrt{2}(cos0+isin0)=\sqrt{2}\\
w_1=\sqrt{2}(cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3})=\sqrt{2}(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=
\sqrt{2}(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{\sqrt{2}}{2}+isin\frac{\sqrt{6}}{2}\\
w_2=...}\)


4.
\(\displaystyle{ [ (1+z)^3 ]^2-[ (1-z)^3 ]^2=0\\}\)
\(\displaystyle{ [(1+z)^3-(1-z)^3] [(1+z)^3+(1-z)^3]=0\\
(1+z-1+z)[(1+z)^2+(1+z)(1-z)+(1-z)^2]
(1+z+1-z)[(1+z)^2-(1+z)(1-z)+(1-z)^2] =0\\
...\\}\)
\(\displaystyle{ 12z (z^2+3) (z^2+\frac{1}{3}) =0\\
z=0\quad\vee\quad z^2+3=0\quad\vee\quad z^2+\frac{1}{3}=0\\
...}\)


2.
a)
\(\displaystyle{ \frac{1+\cos\phi+i\sin\phi}{1+\cos\phi-i\sin\phi},\ 0

e)
\(\displaystyle{ (1+i)^n=
[\sqrt{2} (\frac{ \sqrt{2} }{2}+isin \frac{ \sqrt{2} }{2} )]^n=
[\sqrt{2} (cos\frac{ \pi }{4}+isin \frac{\pi}{4} )]^n=
\sqrt{2^n}(cos\frac{n\pi }{4}+isin \frac{n\pi}{4} )}\)

POZDRO}\)

[dreake]

Dzieki wielkie, jak tylko to sprawdze natychmiast odpowiem.

[ Dodano: 13 Listopada 2007, 22:44 ]
Nie rozumiem nastepujacego przeksztalcenia:

\(\displaystyle{ \frac{\cos\frac{\Pi}{2}+i\sin\frac{\Pi}{2}}{\cos\frac{\Pi}{2}-i\sin\frac{\Pi}{2}}=(\cos\frac{\Pi}{2}+\sin\frac{\Pi}{2})^{2}}\)

A w zadaniu 3 jest chyba blad. Wg. mnie w wyniku jest niepotrzebnie isin

[soku11]

Pomnozylem przez sprzezenie mianownika, tj:
\(\displaystyle{ \frac{ \cos\frac{\Phi}{2}+i\sin\frac{\Phi}{2} } { \cos\frac{\Phi}{2}-i\sin\frac{\Phi}{2} }=
\frac{ (\cos\frac{\Phi}{2}+i\sin\frac{\Phi}{2})^ } { (\cos\frac{\Phi}{2}-i\sin\frac{\Phi}{2})(\cos\frac{\Phi}{2}+i\sin\frac{\Phi}{2}) }=
\frac{ (\cos\frac{\Phi}{2}+i\sin\frac{\Phi}{2})^ } { \cos^2\frac{\Phi}{2}+\sin^2\frac{\Phi}{2} }=
\frac{ (\cos\frac{\Phi}{2}+i\sin\frac{\Phi}{2})^ } { 1 }=
(\cos\frac{\Phi}{2}+\sin\frac{\Phi}{2})^{2}}\)

BTW. To nie jest \(\displaystyle{ \pi}\) tylko \(\displaystyle{ \phi}\) - tak by bylo za latwo

POZDRO