jak szybko wyliczyc "fi" z cos i sin

[jolka88]

witam, jak mozna najlatwiej wyliczyc "fi" z katow cos i sin? niestety nie moglam byc na jednym wykladzie i nie kapuje tego teraz
np mam takie:

a) 1+ isqrt{3}
b) 2i


potrafie wyliczyc sinusa i cosinusa, ale wspolnego kata, czyli "fi" juz nie kapuje wiem ze mozna latwiej na wykresie, ale tez niewiele mi to daje

pozdrawiam i prosze o pomoc

[soku11]

Jesli masz podane samo \(\displaystyle{ \Re z}\) albo \(\displaystyle{ \Im z}\), to latwo zauwazyc kat poprzez rysunek. Mamy np twoj podpunkt b) 2i. Liczba ta lezy na dodatniej polosi OY. Teraz wiedzac, ze dodatnia polos OX wyznacza kat 0 stopni, to idac przeciwnie do ruchu wskazowek zegara wychodzi nam ze wtedy kat to 90 stopni: \(\displaystyle{ \phi=\frac{\pi}{2}}\). Jesli mamy np liczbe -2 to wtedy lezy ona na ujemnej polosi OX i kat nasz wynosi 180 stopni, czyli \(\displaystyle{ \phi=\pi}\). Dla liczby 3: \(\displaystyle{ \phi=0}\), dla -5i: \(\displaystyle{ \frac{3}{2}\pi}\).

Natomiast jak masz np przyklad a:
\(\displaystyle{ 1+i\sqrt{3}}\)

To albo sie zauwaza taka wlasnosc:
\(\displaystyle{ 2(\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2})}\)

I zamienia na katy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{1}{2}=cos\phi\\\frac{\sqrt{3}}{2}=sin\phi\end{cases}
\phi=\frac{\pi}{3}}\)

Albo zapisujesz sobie zgodnie z definicja (nieraz rowniez nie mozna tak latwo dobrac kata ):
\(\displaystyle{ \begin{cases} sin\phi=\frac{y}{|z|}\\cos\phi=\frac{x}{|z|}\end{cases} \\
\begin{cases} |z| sin\phi=\sqrt{3}\\|z| cos\phi=1 \end{cases} \\
\begin{cases}|z|^2sin^2\phi=3\\|z|^2cos^2\phi=1\end{cases} \\
|z|^2(cos^2\phi+sin^2\phi)=4\\
|z|^2=4\\
|z|=2\\
\begin{cases} sin\phi=\frac{\sqrt{3}}{2}\\cos\phi=\frac{1}{2}\end{cases}\\
\phi=\frac{\pi}{3}}\)

POZDRO

[jolka88]

thx, ale dalej nie do konca rozumiem

czemu dla -5i wychodzi 3/2pi ?

i jak z tego to wyszlo
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{1}{2}=cos\phi\\\frac{\sqrt{3}}{2}=sin\phi\end{cases}
\phi=\frac{\pi}{3}}\)

juz troche kapuje, ze to sie wylicza z osi, wiec chyba trzeba jakos zaznaczyc? tylko jak?
samego cos i sin potrafie wyliczyc, bo do tego udalo mi sie dojsc, ale nie potrafie sobie poradzic z tym \(\displaystyle{ \phi}\) , a potem reszte tez juz umiem zrobic

pozdrawiam!

[soku11]

Zaraz ci narysuje w paincie zaawansowany rysunek i dodam linka Badz cierpliwa. POZDRO

[ Dodano: 11 Listopada 2007, 13:30 ]
No to tak. Co do tej wartosi kata, gdy mamy dane sinus i cosinus. Najpierw okreslasz ktora to cwiartka ukaldu. Tutaj jest zarowno sinus jak i cosinus dodatni, czyli bedzie to pierwsza cwiartka. Teraz jak nie pamietasz to patrzysz na ta stronke:

i znajdujesz kat odpowiadajacay podanym wartosciom.


No i ten rysuneczek do samych \(\displaystyle{ \Re}\) i \(\displaystyle{ \Im}\):


POZDRO

[jolka88]

chyba juz kapuje, ale mozesz jeszcze potwierdzic?
czyli najlepiej miec ta tablice przy sobie i jak mam np

\(\displaystyle{ |1-i| = \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ |1-i| = \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ cos = \frac{1}{\sqrt{2}}
sin = \frac{1}{\sqrt{2}}}\)

a teraz zeby odszukac w tablicy to trzeba przemnozyc \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}}}\) bo nie moze byc pierwiastka w mianowniku, czyli wychodzi \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\) i z tej tablicy odczytuje \(\displaystyle{ \frac{pi}{4}}\)
??

a tego wykresu dalej nie kapuje... tzn nie wiem jak zaznaczasz to -5i. -2 kapuje - zaznaczasz na osi OX i wtedy wychodzi kat 180, ale jak ci wyszedl dla -5i kat 270?

pozdrawiam!

[ Dodano: 11 Listopada 2007, 14:31 ]
albo chyba juz kapuje

-5i = -5 * (0,1) = (0,-5) ? dobrze to mnoze?

[soku11]

Co do tego pierszego to nie rozumiem zapisu... Tam nie ma zadnych liczb zespolonych przeciez tylko zwykle rownanie ktore zapewne nie jest prawdziwe...

Co do tego wykresu. Przesuwasz sie przeciwnie do ruchu wskazowek zegara. Dla z=2 masz kat 0 stopni, dla z=2i masz 90 stopni (caly czas sie dodaja w kolko jak chodzisz po ukladzie), dla z=-2 masz 180 stopni. Schodzisz dales w kolko do 3 cwiartki (tam sa wartosci katow od 180 do 270) i dochodzac do ujemnej polosi OY masz 270. Pozniej idziesz do 4 cwiartki. Tam katy sa od 270 do 360. Pozniej wracasz na punkt gdzie wczesniej bylo 0 stopni (dodatnia OX). Jednak teraz masz tam wartosc 360. I znow mozesz obliczac dalej kat i bedziesz miala na dodatniej 0Y 450, na ujemnej OX znow 90 stopni wiecej czyli 540, itd.... Dlatego tez sin ma nieskonczenie wiele miejsc zerowych i nieskonczenie wiele wartosci z przedzialu . Heh nie wiem jak to latwiej wytlumaczyc... POZDRO