Skąd się wziął wzór na iloczyn liczb zespolonych.

[Discovery]

Witam,
mam trochę nietypowe pytanie. Otóż nie lubię uczyć się czegoś czego nie rozumiem. W przypadku liczb zespolonych, dostaje wzór na iloczyn ale zero wyjaśnienia skąd się on właściwie wziął. Szukałem w necie trochę informacji o powstaniu liczb zespolonych. Nigdzie nie ma wyjaśnienia tego wzoru. Wie może ktoś czemu akurat taki wzór?
Dzięki
Pozdrawiam

[kuch2r]

Niech:
\(\displaystyle{ z_1=a_1+b_1i\\z_2=a_2+b_2i}\)
WowczaS:
\(\displaystyle{ z_1\cdot z_2=(a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=a_1\cdot a_2 +a_1\cdot b_2 i +a_2\cdot b_1i+b_1\cdot b_2 i^2=a_1\cdot a_2- b_1\cdot b_2 +(a_1\cdot b_2+a_2\cdot b_1)i}\)

[Discovery]

Nie napisałeś jak przeszedłeś z postaci z \(\displaystyle{ i^{2}}\) i bez minusa do ostatecznej postaci. Nie wiem jakie tam przekształcenia wykonałeś.

[flake]

Nie napisałeś jak przeszedłeś z postaci z \(\displaystyle{ i^{2}}\) i bez minusa do ostatecznej postaci. Nie wiem jakie tam przekształcenia wykonałeś.

Przecież \(\displaystyle{ i^{2}}\) jest równe -1, stad ten minus. A dalej wyrazy sa pogrupowane po prostu - maja wspolny czynnik \(\displaystyle{ i}\).

[lepton]

W przypadku liczb zespolonych, dostaje wzór na iloczyn ale zero wyjaśnienia skąd się on właściwie wziął.

iloczyn ten został zdefiniowany
w ciele liczb zespolonych \(\displaystyle{ C=R\times R}\) jest z definicji równy
\(\displaystyle{ (a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)}\)
którego wynik jest równy iloczynowi dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej reprezentowanych jako\(\displaystyle{ a+bi}\), gdzie \(\displaystyle{ i}\) jest parą \(\displaystyle{ (0,1)}\), natomiast \(\displaystyle{ (0,1)^2=(0,1)\cdot(0,1)=(-1,0)=-1}\)

[Discovery]

Ok dzięki
Jeszcze jedno pytanko, ma ktoś może obrazek z reprezentacją graficzną w przestrzeni trójwymiarowej jakiejś funkcji zmiennej zespolonej? Bo na uczelni mówili, że to w przestrzeni trójwymiarowej się takie wykresy rysuje. A za bardzo nie potrafię sobie tego wyobrazić.