rownania liczb zespolonych

[qudi]

W zbiorze liczb zespolonych rozwiazac podane równania:

(z - i)^4 = (z + 1)^4


lub np.


z^2 - 2z + 10 = 0;


lub

z^4 + 5z^2 + 4 = 0;


Prosze o pomoc
z gory dzieki

[natkoza]

\(\displaystyle{ z^{2}-2z+10=0}\)
liczymy wyróznik \(\displaystyle{ \Delta}\) tegp trójmiany kwadratowego
\(\displaystyle{ \Delta= 4-4\cdot 1\cdot 10=4-40=-36}\)
liczymy pierwiastki z \(\displaystyle{ \Delta}\) czyli takiej liczby postaci a+bi, która podniesiona do kwadratu daje -32
\(\displaystyle{ (a+bi)^{2}=-32\\
a^{2}+2abi+(bi)^{2}=-32\\
a^{2}+2abi-b^{2}=-32}\)
porównujemy części rzeczywiste i urojone tych wyrażeń i rozwiązujemy ukłąd równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^{2}-b^{2}=-32\\-2abi=0\end{cases}}\)
rozwiązujac ten układ dostaniesz dwie takie liczby i podstawiasz je do jednego z wzorów na ierwiastki równania kwadratowego np \(\displaystyle{ x=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\)

[Calasilyar]

z^4 + 5z^2 + 4 = 0

podstawienie \(\displaystyle{ t=z^{2}}\), tylko tym razem \(\displaystyle{ t\in \mathbb{R}}\) i dalej jak napisała natkoza.

(z - i)^4 = (z + 1)^4

\(\displaystyle{ (z-i)^{4}-(z+i)^{4}=[(z-i)^{2}+(z+i)^{2}]\cdot [(z-i)^{2}-(z+i)^{2}]=\\=(z-i+(z+i)i)(z-i-(z+i)i)(z-i-z-i)(z-i+z+i)=0}\)

[qudi]

qrde wiesz co ale z tego ostatniego to niewiele wynika... tu ma wyjsc jakis wynik konkretny bodajze beda dwa... tylko moglby ktos to rozwiazac bo nie wiem czy robie dobrze

[MrNikita]

Tam jest błąd, nie -32, trzeba \(\displaystyle{ (6i)^{2}}\)