Wiedząc że \(\displaystyle{ z_1 = 1 + i}\) jest jednym z pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ W(z) = az^3 + bz + 1}\) gdzie \(\displaystyle{ a, b R}\) znaleźć współczynniki a, b oraz pozostałe pierwiastki.
Czy drugim pierwiastkiem będzie liczba \(\displaystyle{ z_2 = 1 - i}\) ?
Wspólczynniki i pierwiastki wielomianu
-
marcin0x02
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 6 lis 2007, o 09:59
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 3 razy
-
andkom
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
Wspólczynniki i pierwiastki wielomianu
\(\displaystyle{ 0=W(1+i)=a(1+i)^3+b(1+i)+1=a+3ai-3a-ai+b+bi+1=(1+b-2a)+(2a+b)i}\)
Zatem 1+b-2a=0 oraz 2a+b=0, czyli a=1/4 oraz b=-1/2.
\(\displaystyle{ W(z)=\frac14z^3-\frac12z+1=\frac14(z-1-i)(z-1+i)(z+2)}\)
Pierwiastkami naszego wielomianu są zatem 1+i, 1-i oraz -2 (w szczególności 1-i też jest pierwiastkiem).
Zatem 1+b-2a=0 oraz 2a+b=0, czyli a=1/4 oraz b=-1/2.
\(\displaystyle{ W(z)=\frac14z^3-\frac12z+1=\frac14(z-1-i)(z-1+i)(z+2)}\)
Pierwiastkami naszego wielomianu są zatem 1+i, 1-i oraz -2 (w szczególności 1-i też jest pierwiastkiem).