Jak to liczba?

luqasz · Post autor: **luqasz** » 3 lis 2007, o 10:43

Wyznacz liczbe z wiedząc ze dwa kolejne pierwiastki z tej liczby (pewnego stopnia) wynosza \(\displaystyle{ z_{k} \ i \ z_{k+1}}\)

4.96 \(\displaystyle{ z_{k}=1+i \ , \ z_{k+1}=1-i}\)

próbowałem stosować wzór Moivre`a ale nic mi nie wychodzi

soku11 · Post autor: **soku11** » 3 lis 2007, o 16:02

Pierwiastki maja tworzyc na kole figure foremna. Mamy dwa punkty rozlozone jeden na gorze jeden na dole (\(\displaystyle{ z_k=\overline{z_{k+1}}}\)). Tak wiec podana fgura bedzie kwadrat. Mamy wiec 4 pierwiastki. Tak wiec:
\(\displaystyle{ z=a+bi\\
\sqrt[4]{z}=w \\
w_k=z_k=\sqrt{2}(cos\frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4})\\
w_{k+1}=z_{k+1}=\sqrt{2}(cos\frac{7\pi}{4}+isin\frac{7\pi}{4})\\
|z|=\sqrt{2}\ \ |z|^4=4\\
w_n=\sqrt[4]{4}(cos\frac{\phi+2n\pi}{4}+isin\frac{\phi+2n\pi}{4}) \ \ n\in\{ 0,1,2,3\}}\)

Pokombinuj dalej moze cos wyjdzie POZDRO

luqasz · Post autor: **luqasz** » 3 lis 2007, o 18:49

moze mi to ktos dalej rozpisac bo nie bardzo wiem jak mam to rozwiązać co podstawić za \(\displaystyle{ \phi}\)

krzysiek111 · Post autor: **krzysiek111** » 3 lis 2007, o 19:02

fi = pi
to chyba widać, co?

luqasz · Post autor: **luqasz** » 3 lis 2007, o 19:41

wyliczyłem
\(\displaystyle{ w_{0}=1+i \\ w_{1}=-1+i \\ w_{2}=-1-i \\ w_{3}=1-i}\)
i cp z tym zrobic

soku11 · Post autor: **soku11** » 3 lis 2007, o 20:17

No przeciez juz ci krzysiek111 napisal, ze \(\displaystyle{ \phi=\pi}\). Modul ci tez juz obliczylem, czyli zostaje podstawic:
\(\displaystyle{ z=|z|(cos\phi+isin\phi)\\
z=4(cos\pi+isin\pi)=4(-1+0)=-4}\)

POZDRO

luqasz · Post autor: **luqasz** » 3 lis 2007, o 20:52

a w takim przypadku \(\displaystyle{ z_{k}=1+i \ , \ z_{k+1}=-1+i}\)

soku11 · Post autor: **soku11** » 3 lis 2007, o 20:59

No fakt... Ale powiem szczerze, ze nie spotkalem sie z liczba, w ktorej pierwiastki ida zgodnie ze wskazowkami zegara :/ Sam wzor nalicza pierwiastki \(\displaystyle{ 2k\pi}\), a jak wiadomo kat sie liczy przeciwnie do wskazowek zegara... Sprawdz tresc jeszcze raz i podaj odpowiedz jak masz to sie sprawdzi, czy aby napewno to sie zgadza. POZDRO

luqasz · Post autor: **luqasz** » 3 lis 2007, o 21:34

w tresci zadania jest napisane właśnie \(\displaystyle{ z_{k}=1+i \ , \ z_{k+1}=-1+i}\) w pierwszym poscie sie pomyliłem:/ a wynik to -4

soku11 · Post autor: **soku11** » 3 lis 2007, o 22:16

No i teraz wszystko sie zgadza POZDRO

luqasz · Post autor: **luqasz** » 4 lis 2007, o 15:44

soku11 mozesz mi pomóc jeszcze z jednym przykładem bo jakos nie moge tego zrozumieć

\(\displaystyle{ z_{k}=-1-i\sqrt{3} \ , \ z_{k+1}=1+ i\sqrt{3}}\)

obliczyłem

\(\displaystyle{ \left| z\right|=2 ft| z\right|^{4}=16
\\ z_{k}=2(\cos \frac{4\pi}{3}+i\sin \frac{4\pi}{3}
\\ z_{k+1}==2(\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}}\)

nie wiem jak obliczyc \(\displaystyle{ \phi}\) zeby podstawic pod wzór
\(\displaystyle{ z=|z|(cos\phi+isin\phi)\\}\)

soku11 · Post autor: **soku11** » 4 lis 2007, o 16:06

Tutaj juz nie bedzie 4 rozwiazan, tylko 8. Sprawdz jeszcze raz czy dobrze przepisales bo znow jakos dziwnie te kolejne pierwiastki sa porozrzucane... POZDRO

luqasz · Post autor: **luqasz** » 4 lis 2007, o 16:17

znów sie pomyliłem ;/ powino byc \(\displaystyle{ z_{k}=-1-i\sqrt{3} \ , \ z_{k+1}=1- i\sqrt{3}}\)

a dlaczego tutaj bedzie 8 nie rozumiem tego

soku11 · Post autor: **soku11** » 4 lis 2007, o 16:41

Hmpf... Tutaj masz wytlumaczenie tego jak to dziala. Jak wiesz maja one tworzyc figure foremna, tak wiec:
... 23206.html

Te szare to pierwsze dwa pierwiastki z liczby z. Jak widac w pierwszym przypadku miales dane \(\displaystyle{ z_0}\) i \(\displaystyle{ z_1}\). Oba perwiastki tworzyly z osia ox kat 45 stopni. Tak wiec mozna bylo zbudowac tylko kwadrat dodajac jeszcze 2 ich sprzezenia na dole. W twoim przypadku masz podane \(\displaystyle{ z_5}\) i \(\displaystyle{ z_6}\). Dlatego aby utworzyc wielokata foremny potrzeba jeszcze 6 punktow. Dwa z nich to oczywiscie sprzezenia, a pozostale beda wygladaly odwrotnie, tj:
\(\displaystyle{ z_0=\sqrt{3}+i\\
z_1=\overline{z_6}\\
z_2=\overline{z_5}\\
z_3=-\sqrt{3}+i\\
z_4=\overline{z_3}\\
z_5=-1-\sqrt{3}i\ dane\\
z_6=1-\sqrt{3}i\ dane\\
z_7=\overline{z_1}}\)

Teraz rozumiesz??

A co do kata to zauwaz, ze pierwiastek glowny to:
\(\displaystyle{ z_0=\sqrt{3}+i=2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)=
2(cos \frac{\pi}{6}+isin\frac{\pi}{6})}\)
Co odpowiada:
\(\displaystyle{ z_0=\sqrt[8]{z}(cos\frac{\phi}{8}+isin\frac{\phi}{8})}\)

Dalej dasz rade?? POZDRO

luqasz · Post autor: **luqasz** » 4 lis 2007, o 18:41

dzieki za łopatologiczne wyjaśnienie rozmieszczenia pierwiastków ale przy kacie wyskoczył ci jakis bład formuły