wzór Moivre`a

[1987grzesiek]

Obliczyć korzystając ze wzoru Moivre`a (wynik podać w postaci algebraicznej)


\(\displaystyle{ \left(\frac{1+i \sqrt{3} }{1-i}\right)^4}\)

wykonałem dzielenie i wyszło mi


\(\displaystyle{ \left(\frac{1- \sqrt{3} }{2} +i \frac{\sqrt{3}+1 }{2}\right)^4}\)

następnie
|z| = \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2}}{2}}\)

cos\(\displaystyle{ \varphi}\) = \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} - \sqrt{6} }{2}}\)
sin \(\displaystyle{ \varphi}\) = \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} + \sqrt{6} }{2}}\)

i teraz nie wiem jak wyznaczyć z tego \(\displaystyle{ \varphi}\)

[andkom]

Najpierw trzeba oddzielnie spotęgować licznik i mianownik i dopiero później podzielić.

[1987grzesiek]

Witam. Dzięki za taką szybką odpowiedz. A mógłbyś to rozpisać ? bo nie za bardzo rozumiem o co chodzi...

[soku11]

Ja bym to zrobil tak:
\(\displaystyle{ \left(\frac{1+i \sqrt{3} }{1-i}\right)^4 =
ft(\frac{2(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i) }{ \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)}\right)^4 =
4 ft(
\frac{ \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i }{ \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i}
\right)^4 =
4 ft(
\frac{cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3} }{ cos\frac{7\pi}{4}+isin\frac{7pi}{4}}
\right)^4 =
4(cos(-\frac{17\pi}{12})+isin(-\frac{17\pi}{12}))^4=
4(cos(-\frac{17\pi}{3})+isin(-\frac{17\pi}{3}))=...}\)

POZDRO