Liczba zespolona

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
zonkil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 71
Rejestracja: 3 paź 2007, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Liczba zespolona

Post autor: zonkil »

Jak to rozwiązać:
\(\displaystyle{ z^4=-i}\) doszliśmy do \(\displaystyle{ z=\sqrt[4]{-i}}\) lub \(\displaystyle{ z=-\sqrt[4]{-i}}\) i co dalej?
soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1823 razy

Liczba zespolona

Post autor: soku11 »

\(\displaystyle{ z^4=(cos\frac{3}{2}\pi+isin\frac{3}{2}\pi)\\
z_k=\sqrt[4]{1}\left(cos\frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{4} +isin\frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{4}\right)\ k\in\{0,1,2,3\}}\)


POZDRO
macciej91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 15 mar 2007, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 10 razy

Liczba zespolona

Post autor: macciej91 »

Własnie mialem to napisac Uhhh ;P
zonkil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 71
Rejestracja: 3 paź 2007, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Liczba zespolona

Post autor: zonkil »

Mam takie zadanie
\(\displaystyle{ z^2+2iz-1-i=0}\)
Delta wyszła 4i
rozpisałem to na układ równań wyszło mi \(\displaystyle{ x^4-4=0}\) i co dalej? podstawiam \(\displaystyle{ t=x^2}\)?
Ostatnio zmieniony 4 lis 2007, o 13:42 przez zonkil, łącznie zmieniany 1 raz.
soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1823 razy

Liczba zespolona

Post autor: soku11 »

Rozumiem, ze na poczatku mialo byc \(\displaystyle{ z^2}\) a nie \(\displaystyle{ x^2}\). Jak tak to:
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=\sqrt{(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)^2}=\sqrt{2}+\sqrt{2}i\\
z=\frac{-2i\pm(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)}{2}}\)


Nie wiem jak ci wyszlo takie rownanie x^4... POZDRO
Ostatnio zmieniony 4 lis 2007, o 14:17 przez soku11, łącznie zmieniany 1 raz.
zonkil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 71
Rejestracja: 3 paź 2007, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Liczba zespolona

Post autor: zonkil »

Jak Ci to wyszło? skąd taki pierwiastek z delty? Delta wyszła 4i!
soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1823 razy

Liczba zespolona

Post autor: soku11 »

Hehe No tak, czyli:
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=2\sqrt{i}}\)

Jednak nie wyglada to za pieknie i nie wylowisz z tego \(\displaystyle{ \Re(z)\ i\ \Im{z}}\). Dlatego tez trzeba sprawdzic, czy da sie zapisac delte jako cos do kwadratu. Dlatego robie tak:
\(\displaystyle{ \Delta=4i=(a+bi)^2\\
a^2-b^2+2abi=4i\\
\begin{cases} a^2-b^2=0\\2abi=4i\end{cases}\\
\begin{cases} a^2-b^2=0\\a=\frac{2}{b}\end{cases}\\
\frac{4}{b^2}-b^2=0\ b^2=t\\
4-t^2=0\ \ t=2\ \ b=\sqrt{2}\\
a=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\\
\Delta=4i=(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)^2}\)


POZDRO
luqasz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 385
Rejestracja: 30 gru 2006, o 14:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: rzeszów
Podziękował: 81 razy
Pomógł: 14 razy

Liczba zespolona

Post autor: luqasz »

tak delta wyszła 4i ale oblicz pierwiastek z delty
np.:
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=x+iy\\4i=x^{2}+2xi-y^{2}}\)
przyrównujesz cześć rzeczywista do rzeczywistej i urojona do urojonej i masz układ jak rozwiązujesz wyjdzie ci to co napisał soku11
zonkil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 71
Rejestracja: 3 paź 2007, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Liczba zespolona

Post autor: zonkil »

Tak właśnie zrobiłem wyszło \(\displaystyle{ 4i=x^2+2xyi-y^2}\) z tego robie układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-y^2=0\\2xy=4\end{cases}}\) obliczam y wstawiam do pierwszego wyrażenia i wyliczam x
soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1823 razy

Liczba zespolona

Post autor: soku11 »

No przeciez ci to wlasnie wyzej napisalem... Masz wszystko obliczone POZDRO
zonkil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 71
Rejestracja: 3 paź 2007, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Liczba zespolona

Post autor: zonkil »

A gdzie Ci znikło \(\displaystyle{ b^2}\)z mianownika? przyjrzyj się!!!
soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1823 razy

Liczba zespolona

Post autor: soku11 »

Hmpf... Moje rozwiazanie jest poprawne. Podstawilem sobie zmienna pomocnicza \(\displaystyle{ b^2=t}\) i pomnozylem przez mianownik. Nie wiem gdzie ty widzisz blad. Poprostu ominalem lopatologiczne przeksztalcenia. POZDRO
zonkil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 71
Rejestracja: 3 paź 2007, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Liczba zespolona

Post autor: zonkil »

No dobra i o to mi chodziło Dzięki
ODPOWIEDZ