równanie

[juvex]

stosując postać wykładniczą liczby zespolonej mam rozwiązać takie równanie:
\(\displaystyle{ |z|^{3}=i z^{3}}\) prosze o rozwiazanie, dopiero co zaczynam poznawac liczby zespolone a nigdy wczesniej nie miałem doczynienia z tymi liczbami

[scyth]

W takim razie najpierw poczytaj o liczbach zespolonych i różnych możliwych zapisach ich postaci (wykładniczy, trygonometryczny). A potem zadanie:
\(\displaystyle{ z=|z|e^{i\varphi} \\
i=e^{\frac{i\pi}{2}} \\
z^3=|z|^3e^{3i\varphi} \\
\\
|z|^3=|z|^3e^{\frac{i\pi}{2}+3i\varphi} \\
e^{i\left(\frac{\pi}{2}+3\varphi\right)}=1 \\
\frac{\pi}{2}+3\varphi=0 \\}\)

[Lorek]

Dzielisz przez zmienną? Oj nieładnie Ja bym zrobił tak: po lewej stronie jest liczba rzeczywista, czyli po prawej też taka musi być, a tak jest wtw, gdy \(\displaystyle{ Re(z^3)=0}\). I później można sie bawić

[juvex]

scyth czytałem troche ale nie rozumiem Twojego rozwiązania a zwłaszcza dwóch ostatnich linijek - co dalej?, a gdzie jest rozwiązanie?? ale dzięki że odp.
Lorek może Ty byś napisał bo mi własnie chodzi o cos takiego co napisałeś

[scyth]

Lorek, nie dzielę przez zmienną, dzielę przez moduł liczby zespolonej - liczbę rzeczywistą różną od zera.

[ Dodano: 30 Października 2007, 17:32 ]
ostatnie dwie linijki:
\(\displaystyle{ e^{i\left(\frac{\pi}{2}+3\varphi\right)}=1(=e^0) \\
i\left(\frac{\pi}{2}+3\varphi\right)=0, \ i \ne 0 \\
\frac{\pi}{2}+3\varphi=0}\)
teraz jaśniej?

[Lorek]

dzielę przez moduł liczby zespolonej - liczbę rzeczywistą różną od zera.

\(\displaystyle{ |0|=...}\)

[juvex]

Lorek scyth dobrze zrobił, u mnie na ćwiczeniach zamiast |z| piszemy r i mam jeden przykład robiony na tablicy i gdzie było podzielone przez r i było dobrze

[ Dodano: 30 Października 2007, 18:18 ]
scyth juz rozumiem, wielkie dzięki. a więc zawsze 1 zamienaim na \(\displaystyle{ e^{0}}\) ???
jak wyszło Ci: \(\displaystyle{ \frac {\pi}{2}+3\varphi=0}\)
to my na ćwiczeniach piszemy tak: \(\displaystyle{ \frac {\pi}{2}+3\varphi=0+2k\pi}\) i mamy zaznaczone ze \(\displaystyle{ varphi [0,2pi)}\) i wyznaczamy \(\displaystyle{ \varphi}\) i wypisujemy rozwiązania mieszczace sie w przedziale który już wymieniłem

[Lorek]

Czyli jest możliwe dzielenie przez zero? Fajnie
Co do mojego sposobu :
\(\displaystyle{ z^3=x^3-3xy^2+(3x^2y-y^3)i\\Re(z^3)=0\iff x=0 x^2=3y^2}\)
1. Przypadek \(\displaystyle{ x=0\Rightarrow z=yi}\)
\(\displaystyle{ |y^3|=y^3\iff y\geq 0}\)
2. przypadek \(\displaystyle{ x^2=3y^2}\)
\(\displaystyle{ |2y|^3=-8y^3\iff y\leq 0}\)

A co do sposobu scytha, to jest on dobry, ale wymaga pewnych założeń i rozpatrywania osobno pewnych przypadków.

[scyth]

Lorek - masz rację, nie napisałem, że przypadek \(\displaystyle{ z=0}\) spełnia warunki zadania i go już nie rozważam. Ale dalej jest już OK.

juvex, cieszę się, że już rozumiesz. Dobrze piszecie na ćwiczeniach, ja tu troche skrótowo i na pewno wiele osób by mnie zjadło za nie do końca poprawny zapis .
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=46317#188083 - podobny przykład do Twojego.

[juvex]

Lorek a Twojego rozwiązania to wcale nie rozumiem lecz nie mówie ze jest złe. scyth rozwiązał tak jak u mnie na ćwiczeniach i się z tego bardzo ciesze bo mi pomógł zrozumieć, teraz to już chyba każde równanie bym rozwiązał.
Wielkie dzięki za pomoc

[ Dodano: 30 Października 2007, 18:31 ]
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=46317#188083 - podobny przykład do Twojego.[/quote]

dla mnie to nie za bardzo podobny bo u mnie było i a dla mnie to jest różnica bo pierwszy raz to widze na oczy ale rozwiązanie to w 100% podobne

[Lukasz_C747]

juvex, po lewej stronie mamy moduł, a moduł z definicji jest liczbą rzeczywistą. Ale skoro moduł jest rzeczywisty to i prawa strona musi być, a więc nie może mieć części urojonej, zatem część rzeczywista z^3 musi być zero, bo mnożymy liczbę zespoloną przez i, zatem jej części rzeczywista i urojona zamienią się na odpowiednio urojoną i rzeczywistą. Dalej Lorek korzysta z postaci algebraicznej liczby zespolonej tj. z=x+iy.

scyth też dobrze robił, tylko pomijał pewne założenia. Jeśli dzielił przez coś co mogło mieć wartość zero, to trzeba było założyć, że jest różne od zera i przypadek gdy wartość zero przyjmuje rozważyć oddzielnie. Pominięcie 2kΠ przy obliczaniu kąta złem nie jest, jeśli wspomnimy, że obliczamy argument główny (czyli taki z przedziału [0,2Π) )

[scyth]

przypomnienie:

stosując postać wykładniczą liczby zespolonej