Pierwiastek z liczby zespolonej

[Koojon]

Coś takiego:

Obliczyć pierwiastek:

\(\displaystyle{ \sqrt[6]{\frac{1-i}{\sqrt{3}+i}}}\)

Prosiłbym krok po kroku bo tego jeszcze nie rozumiem :/

[soku11]

Czyli musisz znalezc liczbe w, taka, ze:
\(\displaystyle{ w^6=z\quad z= \frac{1-i}{\sqrt{3}+i} \\
z=\frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i}{\frac{\sqrt{3}}{2}+i \frac{1}{2}}=
\frac{\sqrt{2}}{2}
\frac{cos(\frac{7\pi}{4})+isin(\frac{7\pi}{4})} {cos(\frac{\pi}{6})+i sin(\frac{\pi}{6})}=
\frac{\sqrt{2}}{2}(cos(\frac{19\pi}{12}) +isin(\frac{19\pi}{12})) \\
w^6=\frac{\sqrt{2}}{2}(cos(\frac{19\pi}{12}) +isin(\frac{19\pi}{12})) \\
w_k=\sqrt[6]{\frac{\sqrt{2}}{2}}(cos(\frac{19\pi}{12\cdot 6}+2k\pi)+isin(\frac{19\pi}{12\cdot 6}+2k\pi)\quad k\in\{ 0,1,...,5\} \\}\)

Podstawiasz poszsczegolne k i masz 6 pierwiastkow
POZDRO

[richard88]

jak jest zrobione przejscie z 1 do 2 linijki????

[soku11]

Musisz tak powyciagac, by znalezc odpowiednia wartosci f-cji trygonometrycznych. Tak wiec:
\(\displaystyle{ 1-i=\frac{2}{\sqrt{2}}(\frac{ \sqrt{2} }{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)=
\sqrt{2}(cos(\frac{7\pi}{4}+isin(\frac{7\pi}{4}))\\
\\
\sqrt{3}+i=2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)=2(cos(\frac{\pi}{6})+isin(\frac{\pi}{6}))
...}\)

POZDRO

[richard88]

no dobra,to juz jasne a w jakis sposob jest zrobionr przejscie z formy w ktorej w liczniku jest sin i cos , w mianowniku tak samo do formy bez kreski(jeden sin i cos ale z zmienionym argumentem)??jest na to jakis wzor ???

[soku11]

Bez zadnych kombinacji masz:
\(\displaystyle{ \frac{cos\alpha+isin\alpha}{cos\beta+isin\beta}=cos(\alpha-\beta)+isin(\alpha-\beta)}\)

POZDRO