Naszkicuj zbiór na płaszczyźnie zespolonej

[max123321]

Naszkicuj zbiór na płaszczyźnie zespolonej:
\(\displaystyle{ S=\left\{ z \in \CC :Arg(iz) \ge \pi/4\right\} }\)

Interesuje mnie jaki tu będzie wynik, bo nie wiem czy gdzieś nie robię błędu. Mi tu wyszło, że dla \(\displaystyle{ x>0}\) będzie to zbiór między prostymi \(\displaystyle{ y=-x}\), a \(\displaystyle{ y=0}\), ta pierwsza prosta włącznie, a ta druga wyłącznie. Może to ktoś potwierdzić, albo zaprzeczyć?

[a4karo]

Nie. Zastanów się jak mnożenie liczby zespolonej przez `i` zmienia jej argument podstawowy.

[max123321]

No, ale jak? Korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ Arg(z_1 \cdot z_2)=Arg(z_1)+Arg(z_2)+2k\pi}\), dla odpowiedniego \(\displaystyle{ k}\). Czyli dostaję:
\(\displaystyle{ Arg(iz)=Arg(i)+Arg(z)+2k\pi \ge \pi/4}\), czyli
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}+Arg(z)-2\pi \ge \pi/4 }\), czyli
\(\displaystyle{ Arg(z) \ge \frac{7}{4}\pi }\)
Co tu jest źle?

[a4karo]

A gdy `Arg\ z=\pi/4` to ile wynosi `Arg\ iz`?

Przede wszystkim określ co rozumiesz przez `Arg`, bo sa dwie szkoły. Według jednej `0\le Arg(z)<2\pi`, według drugiej `-\pi\le Arg(z)<\pi`

[max123321]

No jeśli \(\displaystyle{ Arg(z)=\pi/4}\) to z tego co liczę to \(\displaystyle{ Arg(iz)= \frac{3}{4}\pi }\)

U mnie ta pierwsza szkoła. W sensie \(\displaystyle{ 0 \le Arg(z)<2\pi}\).

No to jak to będzie?

[a4karo]

Mnożęnie przez `i` to obrót o `\pi/2` Skoro masz zadany zbiór "po obrocie", to jak znaleźć zbiór "przed obrotem"?

[max123321]

No to trzeba odjąć te \(\displaystyle{ \pi/2}\). Czyli będzie \(\displaystyle{ Arg(z) \ge -\pi/4}\), no ale to na to samo wychodzi. Co jest źle?

[Tmkk]

Co jest źle?

Równośc, którą napisałeś w drugim poście, tzn \(\displaystyle{ Arg(iz) = \frac{\pi}{2} + Arg(z) - 2\pi}\) jest prawdziwa tylko dla \(\displaystyle{ Arg(z) \in [\frac{3}{2}\pi, 2\pi)}\).