Zaznacz zbiór na płaszczyźnie zespolonej

[max123321]

Zaznacz zbiór na płaszczyźnie zespolonej:
\(\displaystyle{ S=\left\{ z \in \CC : Arg(-i) \ge Arg (-2z) \ge \frac{\pi}{4} \right\} }\)

Jak to zrobić? Jakoś dziwacznie mi to wychodzi. Może mi ktoś pomóc?

[Tmkk]

Jak się ma argument liczby \(\displaystyle{ -2z}\) do argumentu liczby \(\displaystyle{ z}\)?

[max123321]

No to wiem, że \(\displaystyle{ Arg(-2z)=Arg(z)+\pi+2k\pi}\), ale co dalej.

[Tmkk]

To jak jeszcze policzysz ile wynosi \(\displaystyle{ Arg(-i)}\) i uprościsz, to dostaniesz, że masz do narysowania zbiór liczb zespolonych, których argument jest w ustalonym przedziale. A to powinno być proste - wystarczy wiedzieć czym jest argument liczby zespolonej.

[max123321]

No dobra wynik, jaki jest wynik. Dostaję:
\(\displaystyle{ - \frac{3}{4}\pi-2k\pi \le Arg(z) \le \frac{\pi}{2}-2k\pi }\)

No dobra i co z tym dalej. Jak możesz to napisz dalsze pełne rozwiązanie. Bo \(\displaystyle{ 0 \le Arg(z)<2\pi}\). I tego nie czaję.

[Tmkk]

A, rozumiem w czym jest problem. Jeśli tak bardzo, bardzo chcesz, aby ten argument zawsze wpasowywał się w przedział \(\displaystyle{ [0,2\pi]}\), to spoko, ale będziesz się musiał pomęczyć i dzielić na jakieś przypadki.

To wróćmy do równości, którą napisałeś wcześniej, czyli \(\displaystyle{ Arg(-2z) = Arg(z) + \pi + 2k\pi}\). Ile wynosi \(\displaystyle{ k}\)? (w zależności od \(\displaystyle{ Arg(z)}\))

[max123321]

No \(\displaystyle{ k}\) musi być takie, żeby \(\displaystyle{ Arg(z) + \pi + 2k\pi }\), żeby \(\displaystyle{ Arg(z)\in \left[ 0,2\pi\right)}\).
Nie wiem, nie widzę tego. Rozpisz to jak możesz.

A jak to będzie bez przypadków? Napisz coś jak możesz, bo tak to ja się nie domyślę.

[Tmkk]

To ja zrobię jeden przypadek, a Ty drugi, ok?

Jeśli \(\displaystyle{ Arg(z) \in [0,\pi)}\), to wtedy masz równość \(\displaystyle{ Arg(-2z) = Arg(z) + \pi}\). Czyli tutaj dałem \(\displaystyle{ k=0}\), bo wtedy się wszystko zgadza - lewa strona będzie wówczas w przedziale \(\displaystyle{ [\pi, 2\pi) \subset [0,2\pi)}\). Wtedy warunek z treści zadania zapisuje się jako \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} \ge Arg(z) \ge -\frac{3}{4}\pi}\). Ale pamiętajmy, że pracujemy przy założeniu \(\displaystyle{ Arg(z) \in [0,\pi)}\), czyli łącząc te dwa fakty dostajemy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} \ge Arg(z) \ge 0}\) i to sobie narysuj (to będzie po prostu pierwsza ćwiartka).

Jeśli coś jest niejasne - pytaj. Jeśli jasne, to sprawdź teraz, co się dzieje, jeśli \(\displaystyle{ Arg(z) \in [\pi,2\pi)}\).

[max123321]

Aha ok czyli z tego wynika, że to \(\displaystyle{ k}\) nie musi być jednakowe dla lewej i prawej nierówności.
Czyli z tego wynika, że zamiast rozpatrywać
\(\displaystyle{ - \frac{3}{4}\pi-2k\pi \le Arg(z) \le \frac{\pi}{2}-2k\pi}\), należy rozpatrzyć:
\(\displaystyle{ - \frac{3}{4}\pi-2k\pi \le Arg(z)}\) i odzielnie \(\displaystyle{ Arg(z) \le \frac{\pi}{2}-2k\pi}\)
Wtedy można dopisać:
\(\displaystyle{ - \frac{3}{4}\pi-2k\pi \le Arg(z) < 2\pi}\) z czego wynika nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{5}{4}\pi \le Arg(z)<2\pi}\) i teraz oddzielnie tą drugą nierówność:
\(\displaystyle{ 0\le Arg(z) \le \frac{\pi}{2}-2k\pi}\) z czego wynika nierówność:
\(\displaystyle{ 0 \le Arg(z) \le \frac{\pi}{2} }\)
I teraz sumujemy te dwa zbiory czyli dostajemy w efekcie, że ten cały zbiór to:
Cała pierwsza ćwiartka, cała czwarta ćwiartka i z trzeciej ćwiartki wszystko to co jest pod prostą y=x włącznie z tą prostą. Zgadza się? Nie wiem jakoś zawsze w takich zadaniach \(\displaystyle{ k}\) było jednakowe dla obu nierówności i to mnie zmyliło. Dobrze myślę, czy gdzieś robię pomyłkę?

[Tmkk]

Czyli z tego wynika, że zamiast rozpatrywać
\(\displaystyle{ - \frac{3}{4}\pi-2k\pi \le Arg(z) \le \frac{\pi}{2}-2k\pi}\), należy rozpatrzyć:
\(\displaystyle{ - \frac{3}{4}\pi-2k\pi \le Arg(z)}\) i odzielnie \(\displaystyle{ Arg(z) \le \frac{\pi}{2}-2k\pi}\)
...
I teraz sumujemy te dwa zbiory

No nie, przecież tam jest koniunkcja dwóch warunków.

czyli dostajemy w efekcie, że ten cały zbiór to:
Cała pierwsza ćwiartka, cała czwarta ćwiartka i z trzeciej ćwiartki wszystko to co jest pod prostą y=x włącznie z tą prostą. Zgadza się?

wynik się zgadza, ale to trochę przypadek. Spróbuj powtórzyć rozumowanie, gdybyś startował z napisu \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6} -2k\pi \le Arg(z) \le \pi -2k\pi}\)

Pisanie tego \(\displaystyle{ k}\) mocno utrudnia sprawę i wprowadza niepotrzebne zamieszanie. Ograniczanie się do głównego argumentu (tzn. do przedziału \(\displaystyle{ [0,2\pi)}\), ale w zasadzie może byc jakiekolwiek inny długości \(\displaystyle{ 2\pi}\), byle jeden ustalony) jest bardzo dobre, bo zmniejsza szanse, że się pomylisz / weźmiesz za mało / za dużo. Grunt, to żeby się tego trzymać przez całe rozwiązywanie zadania. I wtedy nie piszemy żadnych losowych \(\displaystyle{ k}\), tylko rozpisując argumenty, musimy starannie zadbać, aby zawsze były w tym przedziale.

Dla przykładu, napisałeś, że \(\displaystyle{ Arg(-i) = \frac{3}{2}\pi}\) i git, tu nie było problemu.
Potem napisałeś \(\displaystyle{ Arg(-2z) = Arg(z) + \pi + 2k\pi}\) i tu jest problem. Nie możesz wziąc \(\displaystyle{ k=8}\), bo wtedy lewa strona wypada z przedziału \(\displaystyle{ [0,2\pi)}\). Ale podział na przypadki tu wszystko załatwia i jest bardzo naturalny. Dla \(\displaystyle{ Arg(z) \in [0,\pi)}\) mamy \(\displaystyle{ Arg(-2z) = Arg(z) + \pi }\), a dla \(\displaystyle{ Arg(z) \in [\pi,2\pi)}\) mamy \(\displaystyle{ Arg(-2z) = ... }\). Widzisz, nie ma żadnych \(\displaystyle{ k}\) i nie ma żadnego problemu.

A żeby jeszcze lepiej zobrazować jaki jest problem z równością \(\displaystyle{ Arg(-2z) = Arg(z) + \pi + 2k\pi}\) weźmy konkretny przykład, na przykład \(\displaystyle{ z = 1}\). Wtedy \(\displaystyle{ Arg(-2z) = Arg(-2) = \pi}\) oraz \(\displaystyle{ Arg(z) = Arg(1) = 0}\) i wtedy mamy równość \(\displaystyle{ \pi = 0 + \pi + 2k\pi}\), która jest spełniona tylko dla \(\displaystyle{ k=0}\). Oczywiście mógłbym nie rozpatrywać argumentu głównego i pisać \(\displaystyle{ Arg(-2z) = Arg(-2) = \pi + 2l\pi}\), \(\displaystyle{ l \in \mathbb{Z}}\), ale wtedy będzie biegać tyle literek z jakimiś dodatkowymi warunkami, że kto się by w tym połapał...

[max123321]

Nie rozumiem. Wydaje mi się, że jest dobrze tak jak napisałem. Bo to defakto jest nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{5}{4}\pi \le Arg(z) \le \frac{\pi}{2} }\)
Tylko, że jak się to tak zapisze to jest sprzeczność, więc tak naprawdę zastanawiamy się jak to rozłożyć, żeby to była suma taka:
\(\displaystyle{ 0 \le Arg(z) \le \frac{\pi}{2}}\) i dodatkowo \(\displaystyle{ \frac{5}{4}\pi \le Arg(z) \le 2\pi}\) i to trzeba zsumować.

[Tmkk]

Wyszło dobrze, ale wg mnie rozumowanie nie jest poprawne i raz działa tak, raz działa inaczej.

Podsumujmy - dostajesz nierówności \(\displaystyle{ -\frac{3}{4}\pi - 2k\pi \le Arg(z) \le \frac{\pi}{2} - 2k\pi}\), dobierasz \(\displaystyle{ k}\) (po obu stronach różne), aby liczby po dwóch stronach były w przedziale \(\displaystyle{ [0,2\pi)}\), otrzymując \(\displaystyle{ \frac{5}{4}\pi \le Arg(z) \le \frac{\pi}{2}}\). Taka nierówność do niczego nie prowadzi, więc z jakiegoś powodu rozbijasz ją na dwie inne a potem z jeszcze innego powodu - sumujesz i szczęśliwie wychodzi.

Weźmy inny przykład, powiedźmy, że dostałbyś \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6} - 2k\pi \le Arg(z) \le \frac{\pi}{2} - 2k\pi}\), dobierasz \(\displaystyle{ k}\), aby liczby po dwóch stronach były w przedziale \(\displaystyle{ [0,2\pi)}\), otrzymując \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6} \le Arg(z) \le \frac{\pi}{2}}\). Nierówność wygląda ok, więc tym razem nic nie robimy i taki jest wynik. Jeśli tutaj rozbiłbyś na takie dwie nierówności i zsumował, dostałbyś \(\displaystyle{ z \in \mathbb{C}}\) - bezsensu.

Weźmy kolejny przykład, z innego tematu, który napisałeś, gdzie miałeś do rozpatrzenia \(\displaystyle{ Arg(iz) \ge \frac{\pi}{4}}\). Przekształciłeś do \(\displaystyle{ Arg(z) \ge \frac{-\pi}{4} + 2k\pi}\), dobrałeś odpowiednie \(\displaystyle{ k}\) i otrzymałeś \(\displaystyle{ Arg(z) \ge \frac{7\pi}{4}}\), co nie jest poprawną odpowiedzią.

Jak widzisz, ta metoda nie jest zbyt konsekwentna i raz się uda, raz nie :<

[max123321]

No to ja nie rozumiem jak to powinno być. Zwłaszcza w tamtym zadaniu mnie dziwi, że jest źle. No, ale to jak to powinno być w tym zadaniu?

[Tmkk]

Połowę już zrobiłem w swoim czwartym poście. Jeśli chodzi o drugą połowę, powiedz mi dokładnie (bez żadnego \(\displaystyle{ k}\)), jak się ma do siebie \(\displaystyle{ Arg(-2z)}\) oraz \(\displaystyle{ Arg(z)}\), jeśli \(\displaystyle{ Arg(z) \in [\pi, 2\pi)}\).