Znaleźć zbiór liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
atanazygwiezducha
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 30 lis 2021, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
wiek: 23
Podziękował: 8 razy

Znaleźć zbiór liczb zespolonych

Post autor: atanazygwiezducha »

Mam zadanie żeby znaleźć zbiór liczb zespolonych spełniających warunek:
\(\displaystyle{
\overline{z}\cdot z^{4}= \frac{1}{z}
}\)


Korzystając z następujących wzorów:
\(\displaystyle{
1. \ \arg( z_{1} z_{2})=\arg z_{1} + \arg z_{2}+2k \pi ( k \in \{0,1\}) \\
2. \ \arg (z ^{n}) = n\cdot \arg z+2k \pi (k \in \ZZ) \\
3. \ \arg (\frac{z _{1} }{z _{2} })=\arg z _{1}-\arg z _{2} +2k \pi ( k \in \{0,1\})\\
4. \ \arg \overline{z} = 2 \pi - \arg z \\
}\)

Najpierw przekształcam:
\(\displaystyle{
\arg\overline{z}+\arg(z^{4})+2k_{1} \pi = \frac{1}{z} \ ( k_{1} \in \{0,1\}) \\
\frac{1}{z}= 0-\arg z+2k _{1} \pi \\
\arg\overline{z}+\arg(z^{4})+2k_{1} \pi = -\arg z+2k _{1} \pi \\
\arg\overline{z}+\arg(z^{4}) = -\arg z \\
2 \pi - \arg z+4\arg z+2k_{2} \pi = -\arg z \ ( k_{2} \in \ZZ) \\
2 \pi+4\arg z+2k_{2} \pi = 0\\
4\arg z +2k_{2} \pi = -2 \pi \\
}\)

Podstawiam:
\(\displaystyle{
1. \ k _{2} = 0 \rightarrow 4\arg z=-2 \pi \rightarrow \arg z=- \frac{1}{2} \pi \\
2. \ k _{2} = 1 \rightarrow 4\arg z+2 \pi = -2 \pi \rightarrow 4\arg z = -4 \pi \rightarrow \arg z = - \pi \\
3. \ k _{2} = 2 \rightarrow 4\arg z+4 \pi = -2 \pi \rightarrow 4\arg z = -6 \pi \rightarrow \arg z = - \frac{3}{2} \pi \\
4. \ k _{2} = -1 \rightarrow 4\arg z-2 \pi = -2 \pi \rightarrow 4\arg z = 0 \rightarrow \arg z = 0 \\
}\)

Więc
\(\displaystyle{
z \in \{1,-1,i,-i\}
}\)

Pytania mam następujące:
1. Czy zrobiłem to dobrze?
2. Czy moje rozumowanie jest prawidłowe? Czy dałoby się to zrobić lepiej?

Pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 7 lut 2022, o 18:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot. Nawiasy klamrowe to \{, \}.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Znaleźć zbiór liczb zespolonych

Post autor: Jan Kraszewski »

atanazygwiezducha pisze: 7 lut 2022, o 17:24Czy dałoby się to zrobić lepiej?
\(\displaystyle{
\overline{z}\cdot z^{4}= \frac{1}{z} \Leftrightarrow \overline{z}\cdot z^{5}=1 \Rightarrow |z|^6=1 \Rightarrow |z|=1
}\)


Dalej \(\displaystyle{ \overline{z}\cdot z^{5}=\overline{z}\cdot z\cdot z^{4}=|z|^2\cdot z^4=z^4}\), zatem rozwiązania to pierwiastki czwartego stopnia z jedynki, czyli \(\displaystyle{ z\in\{1,i,-1,-i\}.}\)

JK
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Znaleźć zbiór liczb zespolonych

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ \overline{z}\cdot z^4 = \frac{1}{z} }\)

\(\displaystyle{ \frac{z\cdot \overline{z} \cdot z^4 -1}{z} = 0 }\)

\(\displaystyle{ z = x + iy, \ \ \overline{z} = x - iy , \ \ x,y \in \RR. }\)

\(\displaystyle{ (x^2 +y^2)[(x+iy)^2-1][(x +iy)^2 +1] = 0 }\)

\(\displaystyle{ (x^2 +y^2)[(x+iy)+1][(x +iy) -1][(x+iy) +i][x+iy -i] = 0 }\)

\(\displaystyle{ x+iy = -1 \vee x+iy = 1 \vee x+iy = -i \vee x+iy = i }\)

\(\displaystyle{ z\in \{ -1, \ \ 1, -i, \ \ i \}. }\)
ODPOWIEDZ