zbieżność szeregu zespolonego
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 28 paź 2021, o 17:48
- Płeć: Kobieta
- wiek: 22
- Podziękował: 10 razy
zbieżność szeregu zespolonego
Proszę o pomoc jak rozwiązać ten przykład. Zbadać zbieżność i bezwzględną zbieżność podanego szeregu: \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{i^n}{n} }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 8 paź 2021, o 20:06
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 14 razy
Re: zbieżność szeregu zespolonego
W szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{i^n}{n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}i^n,}\)
\(\displaystyle{ \left| i^n \right| = 1}\) i \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0.}\)
Więc na mocy kryterium Leibniza szereg jest zbieżny.
Teraz bezwzględna zbieżność
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \left| \frac{i^n}{n}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{\left| i^n\right| }{\left| n\right| } = \sum_{n=1}^\infty \frac{\left| i\right|^n }{\left| n\right| }}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ n > 0}\) dostajemy \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}}\) co jest oczywiście rozbieżne, więc nie ma bezwzględnej zbieżności.
\(\displaystyle{ \left| i^n \right| = 1}\) i \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0.}\)
Więc na mocy kryterium Leibniza szereg jest zbieżny.
Teraz bezwzględna zbieżność
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \left| \frac{i^n}{n}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{\left| i^n\right| }{\left| n\right| } = \sum_{n=1}^\infty \frac{\left| i\right|^n }{\left| n\right| }}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ n > 0}\) dostajemy \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}}\) co jest oczywiście rozbieżne, więc nie ma bezwzględnej zbieżności.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: zbieżność szeregu zespolonego
Nie rozumiem. Mogę napisać parafrazującMath_Logic pisze: ↑10 sty 2022, o 19:59 \(\displaystyle{ \left| i^n \right| = 1}\) i \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0.}\)
Więc na mocy kryterium Leibniza szereg jest zbieżny.
Czy czegoś nie widzę? Tak na oko to kryterium Dirichleta powinno dać odpowiedź bo sumy częściowe \(\displaystyle{ \sum_{}^{} i^n}\) są ograniczone (być może o to chodziło we wskazówce). Pewnie sumy częściowe odpowiednich ciągów powstałych z rozbicia na część rzeczywistą i urojoną też będą ograniczone.W szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{\left| i^n\right| }{n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n},}\)
\(\displaystyle{ \left|\left| i^n\right| \right| = 1}\) i \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0.}\)
Więc na mocy kryterium Leibniza szereg jest zbieżny?
-
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 8 paź 2021, o 20:06
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 14 razy
Re: zbieżność szeregu zespolonego
W notatkach J. Wróblewskiego:
Kod: Zaznacz cały
http://www.math.uni.wroc.pl/~jwr/2019-20/Koronaliza/korona45.pdf
znalazłem uogólnione kryterium Leibniza:
Nie sprawdzałem jego prawdziwości, ale jeśli masz takie życzenie, to oczywiście spróbuję się tego podjąć.Niech \(\displaystyle{ w}\) będzie taką liczbą zespoloną, że \(\displaystyle{ |w| = 1}\) oraz \(\displaystyle{ w \neq 1}\). Niech \(\displaystyle{ (a_n)}\) będzie nierosnącym ciągiem liczb rzeczywistych dodatnich zbieżnym do zera. Wówczas szereg\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n w^n}\)jest zbieżny.
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: zbieżność szeregu zespolonego
Jeśli \(\displaystyle{ |z|<1 }\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^{\infty} z^{n} }\)
Całkując obustronnie, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{i} \frac{1}{1-z} dz = \int_{0}^{i} \sum_{n=0}^{\infty} z^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{i} z^{n}dz = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{i^{n+1}}{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{i^{n}}{n}. }\)
Z drugiej strony \(\displaystyle{ \int_{0}^{i} \frac{1}{1-z}dz = -\ln(1-i) = -\ln( \sqrt{2}e^{-i\cdot \frac{\pi}{4}} = -\frac{1}{2}\ln(2) -i\cdot \frac{\pi}{4}. }\)
Badany szereg jest zbieżny i jego suma \(\displaystyle{ S = -\frac{1}{2}\ln(2) -i\cdot \frac{\pi}{4} }\)
Całkując obustronnie, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{i} \frac{1}{1-z} dz = \int_{0}^{i} \sum_{n=0}^{\infty} z^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{i} z^{n}dz = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{i^{n+1}}{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{i^{n}}{n}. }\)
Z drugiej strony \(\displaystyle{ \int_{0}^{i} \frac{1}{1-z}dz = -\ln(1-i) = -\ln( \sqrt{2}e^{-i\cdot \frac{\pi}{4}} = -\frac{1}{2}\ln(2) -i\cdot \frac{\pi}{4}. }\)
Badany szereg jest zbieżny i jego suma \(\displaystyle{ S = -\frac{1}{2}\ln(2) -i\cdot \frac{\pi}{4} }\)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: zbieżność szeregu zespolonego
Ok. Nie mam więcej pytań. Tylko uwagę, pisząc kryterium Leibniza, a potem
PS co do zadania to dla ustalonego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) nie powinno być trudne dobrać takie \(\displaystyle{ N}\), że dla \(\displaystyle{ m,k>N}\) zachodzić będzie
wzbudzasz podejrzenia. Btw w notatkach jest założenie, że \(\displaystyle{ w \neq 1}\) oczywiście tu \(\displaystyle{ w=i}\) więc założenie to jest spełnione ale wiedz, że skorzystałeś z niestandardowego twierdzenia dodatkowo nie wspominając o założeniach.Math_Logic pisze: ↑10 sty 2022, o 19:59 \(\displaystyle{ \left| i^n \right| = 1}\) i \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0.}\)
Ja nie mam takiego życzenia. Wydaje mi się, że fakt z notatek J. Wróblewskiego umiem pokazać z kryterium Dirichleta właśnie. Choć uważam, że jeśli zrobisz dowód (dla siebie lub tu publicznie) to będzie to dydaktycznie cenne.Nie sprawdzałem jego prawdziwości, ale jeśli masz takie życzenie, to oczywiście spróbuję się tego podjąć.
PS co do zadania to dla ustalonego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) nie powinno być trudne dobrać takie \(\displaystyle{ N}\), że dla \(\displaystyle{ m,k>N}\) zachodzić będzie
\(\displaystyle{ \left| \sum_{n=1}^{m} \frac{i^n}{n} -\sum_{n=1}^{k} \frac{i^n}{n} \right|<\epsilon }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 8 paź 2021, o 20:06
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 14 razy
Re: zbieżność szeregu zespolonego
Dziękuję za uwagę. Oczywiście założenia sprawdziłem, ale faktycznie powinienem być tutaj bardziej precyzyjny (pisząc rozwiązanie).Janusz Tracz pisze: ↑10 sty 2022, o 21:22 skorzystałeś z niestandardowego twierdzenia dodatkowo nie wspominając o założeniach
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: zbieżność szeregu zespolonego
Przy użyciu wskazówki zadanie rozwiązuje sie elementarnie:
\(\displaystyle{ \frac{i^{4k+1}}{4k+1}+\frac{i^{4k+2}}{4k+2}+\frac{i^{4k+2}}{4k+3}+\frac{i^{4k+4}}{4k+4}=\left(\frac{1}{4k+1}-\frac{1}{4k+3}\right)i+\left(-\frac{1}{4k+2}+\frac{1}{4k+4}\right)\\
=\frac{2i}{(4k+1)(4k+3)}-\frac{2}{(4k+2)(4k+4)}
}\)
więc widać, że zarówno części rzeczywiste jak i urojone tworzą szeregi zbieżne. Dokładniej:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^N\frac{i^n}{n}=\sum_{k=0}^{[N/4]-1}\left(\frac{i^{4k+1}}{4k+1}+\frac{i^{4k+2}}{4k+2}+\frac{i^{4k+2}}{4k+3}+\frac{i^{4k+4}}{4k+4}\right)+R_N=2i\sum_{k=0}^{[N/4]-1}\frac{1}{(4k+1)(4k+3)} -2\sum_{k=0}^{[N/4]-1}\frac{1}{(4k+2)(4k+4)}+R_N}\)
i
`|R_N|<3/N`
\(\displaystyle{ \frac{i^{4k+1}}{4k+1}+\frac{i^{4k+2}}{4k+2}+\frac{i^{4k+2}}{4k+3}+\frac{i^{4k+4}}{4k+4}=\left(\frac{1}{4k+1}-\frac{1}{4k+3}\right)i+\left(-\frac{1}{4k+2}+\frac{1}{4k+4}\right)\\
=\frac{2i}{(4k+1)(4k+3)}-\frac{2}{(4k+2)(4k+4)}
}\)
więc widać, że zarówno części rzeczywiste jak i urojone tworzą szeregi zbieżne. Dokładniej:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^N\frac{i^n}{n}=\sum_{k=0}^{[N/4]-1}\left(\frac{i^{4k+1}}{4k+1}+\frac{i^{4k+2}}{4k+2}+\frac{i^{4k+2}}{4k+3}+\frac{i^{4k+4}}{4k+4}\right)+R_N=2i\sum_{k=0}^{[N/4]-1}\frac{1}{(4k+1)(4k+3)} -2\sum_{k=0}^{[N/4]-1}\frac{1}{(4k+2)(4k+4)}+R_N}\)
i
`|R_N|<3/N`
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 28 paź 2021, o 17:48
- Płeć: Kobieta
- wiek: 22
- Podziękował: 10 razy
Re: zbieżność szeregu zespolonego
Dziękuję wszystkim za pomoc, rozumiem sposób z kryterium Leibniza. W jaki sposób sprawdzić zbieżność z kryterium Dirichleta? Próbowałem to zrobić ale mam problem z częścią urojoną.Janusz Tracz pisze: ↑10 sty 2022, o 20:42 Czy czegoś nie widzę? Tak na oko to kryterium Dirichleta powinno dać odpowiedź bo sumy częściowe \(\displaystyle{ \sum_{}^{} i^n}\) są ograniczone (być może o to chodziło we wskazówce). Pewnie sumy częściowe odpowiednich ciągów powstałych z rozbicia na część rzeczywistą i urojoną też będą ograniczone.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: zbieżność szeregu zespolonego
Zobacz tezę kryterium wraz z dowodem. Zgodnie z oznaczeniami z linku \(\displaystyle{ a_n=1/n}\) monotonicznie zbiega do zera oraz \(\displaystyle{ b_n=i^n}\) ma sumę częściowa ograniczoną wszak
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_test
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N}i^n= \frac{(1-i)(i^N-1)}{2} }\)
więc dla każdego \(\displaystyle{ N\in\NN}\) \(\displaystyle{ \left| \sum_{n=1}^{N}i^n\right| \le 2. }\)
Mamy wiec spełnione warunki twierdzenia.