zbieżność szeregu zespolonego

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
jelen+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 28 paź 2021, o 17:48
Płeć: Kobieta
wiek: 22
Podziękował: 10 razy

zbieżność szeregu zespolonego

Post autor: jelen+ »

Proszę o pomoc jak rozwiązać ten przykład. Zbadać zbieżność i bezwzględną zbieżność podanego szeregu: \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{i^n}{n} }\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: zbieżność szeregu zespolonego

Post autor: a4karo »

Wsk: Pogrupuj wyrazy po cztery
Math_Logic
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 8 paź 2021, o 20:06
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 14 razy

Re: zbieżność szeregu zespolonego

Post autor: Math_Logic »

W szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{i^n}{n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}i^n,}\)
\(\displaystyle{ \left| i^n \right| = 1}\) i \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0.}\)

Więc na mocy kryterium Leibniza szereg jest zbieżny.

Teraz bezwzględna zbieżność
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \left| \frac{i^n}{n}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{\left| i^n\right| }{\left| n\right| } = \sum_{n=1}^\infty \frac{\left| i\right|^n }{\left| n\right| }}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ n > 0}\) dostajemy \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}}\) co jest oczywiście rozbieżne, więc nie ma bezwzględnej zbieżności.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: zbieżność szeregu zespolonego

Post autor: Janusz Tracz »

Math_Logic pisze: 10 sty 2022, o 19:59 \(\displaystyle{ \left| i^n \right| = 1}\) i \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0.}\)
Więc na mocy kryterium Leibniza szereg jest zbieżny.
Nie rozumiem. Mogę napisać parafrazując
W szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{\left| i^n\right| }{n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n},}\)
\(\displaystyle{ \left|\left| i^n\right| \right| = 1}\) i \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0.}\)

Więc na mocy kryterium Leibniza szereg jest zbieżny?
Czy czegoś nie widzę? Tak na oko to kryterium Dirichleta powinno dać odpowiedź bo sumy częściowe \(\displaystyle{ \sum_{}^{} i^n}\) są ograniczone (być może o to chodziło we wskazówce). Pewnie sumy częściowe odpowiednich ciągów powstałych z rozbicia na część rzeczywistą i urojoną też będą ograniczone.
Math_Logic
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 8 paź 2021, o 20:06
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 14 razy

Re: zbieżność szeregu zespolonego

Post autor: Math_Logic »

Janusz Tracz pisze: 10 sty 2022, o 20:42 Czy czegoś nie widzę?
W notatkach J. Wróblewskiego:

Kod: Zaznacz cały

http://www.math.uni.wroc.pl/~jwr/2019-20/Koronaliza/korona45.pdf


znalazłem uogólnione kryterium Leibniza:
Niech \(\displaystyle{ w}\) będzie taką liczbą zespoloną, że \(\displaystyle{ |w| = 1}\) oraz \(\displaystyle{ w \neq 1}\). Niech \(\displaystyle{ (a_n)}\) będzie nierosnącym ciągiem liczb rzeczywistych dodatnich zbieżnym do zera. Wówczas szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n w^n}\)
jest zbieżny.
Nie sprawdzałem jego prawdziwości, ale jeśli masz takie życzenie, to oczywiście spróbuję się tego podjąć.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: zbieżność szeregu zespolonego

Post autor: janusz47 »

Jeśli \(\displaystyle{ |z|<1 }\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^{\infty} z^{n} }\)

Całkując obustronnie, otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{i} \frac{1}{1-z} dz = \int_{0}^{i} \sum_{n=0}^{\infty} z^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{i} z^{n}dz = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{i^{n+1}}{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{i^{n}}{n}. }\)

Z drugiej strony \(\displaystyle{ \int_{0}^{i} \frac{1}{1-z}dz = -\ln(1-i) = -\ln( \sqrt{2}e^{-i\cdot \frac{\pi}{4}} = -\frac{1}{2}\ln(2) -i\cdot \frac{\pi}{4}. }\)

Badany szereg jest zbieżny i jego suma \(\displaystyle{ S = -\frac{1}{2}\ln(2) -i\cdot \frac{\pi}{4} }\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: zbieżność szeregu zespolonego

Post autor: Janusz Tracz »

Ok. Nie mam więcej pytań. Tylko uwagę, pisząc kryterium Leibniza, a potem
Math_Logic pisze: 10 sty 2022, o 19:59 \(\displaystyle{ \left| i^n \right| = 1}\) i \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0.}\)
wzbudzasz podejrzenia. Btw w notatkach jest założenie, że \(\displaystyle{ w \neq 1}\) oczywiście tu \(\displaystyle{ w=i}\) więc założenie to jest spełnione ale wiedz, że skorzystałeś z niestandardowego twierdzenia dodatkowo nie wspominając o założeniach.
Nie sprawdzałem jego prawdziwości, ale jeśli masz takie życzenie, to oczywiście spróbuję się tego podjąć.
Ja nie mam takiego życzenia. Wydaje mi się, że fakt z notatek J. Wróblewskiego umiem pokazać z kryterium Dirichleta właśnie. Choć uważam, że jeśli zrobisz dowód (dla siebie lub tu publicznie) to będzie to dydaktycznie cenne.

PS co do zadania to dla ustalonego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) nie powinno być trudne dobrać takie \(\displaystyle{ N}\), że dla \(\displaystyle{ m,k>N}\) zachodzić będzie
\(\displaystyle{ \left| \sum_{n=1}^{m} \frac{i^n}{n} -\sum_{n=1}^{k} \frac{i^n}{n} \right|<\epsilon }\)
Math_Logic
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 8 paź 2021, o 20:06
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 14 razy

Re: zbieżność szeregu zespolonego

Post autor: Math_Logic »

Janusz Tracz pisze: 10 sty 2022, o 21:22 skorzystałeś z niestandardowego twierdzenia dodatkowo nie wspominając o założeniach
Dziękuję za uwagę. Oczywiście założenia sprawdziłem, ale faktycznie powinienem być tutaj bardziej precyzyjny (pisząc rozwiązanie).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: zbieżność szeregu zespolonego

Post autor: a4karo »

Przy użyciu wskazówki zadanie rozwiązuje sie elementarnie:
\(\displaystyle{ \frac{i^{4k+1}}{4k+1}+\frac{i^{4k+2}}{4k+2}+\frac{i^{4k+2}}{4k+3}+\frac{i^{4k+4}}{4k+4}=\left(\frac{1}{4k+1}-\frac{1}{4k+3}\right)i+\left(-\frac{1}{4k+2}+\frac{1}{4k+4}\right)\\
=\frac{2i}{(4k+1)(4k+3)}-\frac{2}{(4k+2)(4k+4)}
}\)

więc widać, że zarówno części rzeczywiste jak i urojone tworzą szeregi zbieżne. Dokładniej:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^N\frac{i^n}{n}=\sum_{k=0}^{[N/4]-1}\left(\frac{i^{4k+1}}{4k+1}+\frac{i^{4k+2}}{4k+2}+\frac{i^{4k+2}}{4k+3}+\frac{i^{4k+4}}{4k+4}\right)+R_N=2i\sum_{k=0}^{[N/4]-1}\frac{1}{(4k+1)(4k+3)} -2\sum_{k=0}^{[N/4]-1}\frac{1}{(4k+2)(4k+4)}+R_N}\)
i
`|R_N|<3/N`
jelen+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 28 paź 2021, o 17:48
Płeć: Kobieta
wiek: 22
Podziękował: 10 razy

Re: zbieżność szeregu zespolonego

Post autor: jelen+ »

Janusz Tracz pisze: 10 sty 2022, o 20:42 Czy czegoś nie widzę? Tak na oko to kryterium Dirichleta powinno dać odpowiedź bo sumy częściowe \(\displaystyle{ \sum_{}^{} i^n}\) są ograniczone (być może o to chodziło we wskazówce). Pewnie sumy częściowe odpowiednich ciągów powstałych z rozbicia na część rzeczywistą i urojoną też będą ograniczone.
Dziękuję wszystkim za pomoc, rozumiem sposób z kryterium Leibniza. W jaki sposób sprawdzić zbieżność z kryterium Dirichleta? Próbowałem to zrobić ale mam problem z częścią urojoną.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: zbieżność szeregu zespolonego

Post autor: Janusz Tracz »

Zobacz tezę kryterium

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_test
wraz z dowodem. Zgodnie z oznaczeniami z linku \(\displaystyle{ a_n=1/n}\) monotonicznie zbiega do zera oraz \(\displaystyle{ b_n=i^n}\) ma sumę częściowa ograniczoną wszak
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N}i^n= \frac{(1-i)(i^N-1)}{2} }\)
więc dla każdego \(\displaystyle{ N\in\NN}\)
\(\displaystyle{ \left| \sum_{n=1}^{N}i^n\right| \le 2. }\)
Mamy wiec spełnione warunki twierdzenia.
ODPOWIEDZ