znaleźć obraz zbioru przy danym odwzorowaniu
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 1 maja 2020, o 16:55
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
znaleźć obraz zbioru przy danym odwzorowaniu
Proszę o wyjaśnienie jak rozwiązać ten przykład. Znaleźć obraz zbioru \(\displaystyle{ D}\) przy odwzorowaniu \(\displaystyle{ w=f(z)}\). Narysować zbiór \(\displaystyle{ D}\) i jego obraz, jeśli \(\displaystyle{ D=\left\{ z \in \CC: 0 \le \Re(z) \le 1,\ 0 \le \Im(z) \le 1 \right\},\ f(z)=z^{2}}\).
Ostatnio zmieniony 15 gru 2021, o 16:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: znaleźć obraz zbioru przy danym odwzorowaniu
Niech \(\displaystyle{ z = x + i \cdot y \in \CC }\)
\(\displaystyle{ f (z) = w = (x+ i \cdot y)^2 = x^2 - y^2 + 2 i \cdot x\cdot y = u(x,y) + i \cdot v(x,y)}\)
Zbiór \(\displaystyle{ D }\) jest kwadratem jednostkowym na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \CC ,}\) czyli zbiorem punktów:
\(\displaystyle{ D = \left\{ z = \Re(z) + \Im(z) \in \CC: 0 \le \Re(z) \le 1, \ \ 0 \le \Im(z) \le 1 \right\}. }\)
Jego obraz w przekształceniu \(\displaystyle{ f(z) }\)
\(\displaystyle{ f(D) = u(x,y) + i \cdot v(x,y) = 1^2 - y^2 + 2\cdot 1 \cdot y, \ \ y\in [0, 1].}\)
Otrzymujemy układ równań parametrycznych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} u(y) = 1 - y^2 \\ v(y) = 2 y \end{cases} }\)
Proszę wyznaczyć z drugiego równania \(\displaystyle{ y }\) i podstawić do równania pierwszego.
Odpowiedź
Obszar o brzegu złożonym z odcinka \(\displaystyle{ [ -1, 1 ]}\) i dwóch symetrycznych względem osi \(\displaystyle{ Ov }\) łuków parabol \(\displaystyle{ \pm u = 1 - \frac{1}{4}v^2. }\)
\(\displaystyle{ f (z) = w = (x+ i \cdot y)^2 = x^2 - y^2 + 2 i \cdot x\cdot y = u(x,y) + i \cdot v(x,y)}\)
Zbiór \(\displaystyle{ D }\) jest kwadratem jednostkowym na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \CC ,}\) czyli zbiorem punktów:
\(\displaystyle{ D = \left\{ z = \Re(z) + \Im(z) \in \CC: 0 \le \Re(z) \le 1, \ \ 0 \le \Im(z) \le 1 \right\}. }\)
Jego obraz w przekształceniu \(\displaystyle{ f(z) }\)
\(\displaystyle{ f(D) = u(x,y) + i \cdot v(x,y) = 1^2 - y^2 + 2\cdot 1 \cdot y, \ \ y\in [0, 1].}\)
Otrzymujemy układ równań parametrycznych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} u(y) = 1 - y^2 \\ v(y) = 2 y \end{cases} }\)
Proszę wyznaczyć z drugiego równania \(\displaystyle{ y }\) i podstawić do równania pierwszego.
Odpowiedź
Obszar o brzegu złożonym z odcinka \(\displaystyle{ [ -1, 1 ]}\) i dwóch symetrycznych względem osi \(\displaystyle{ Ov }\) łuków parabol \(\displaystyle{ \pm u = 1 - \frac{1}{4}v^2. }\)
Ostatnio zmieniony 15 gru 2021, o 21:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: znaleźć obraz zbioru przy danym odwzorowaniu
To nie jest prawdąjanusz47 pisze: ↑15 gru 2021, o 18:44 Niech \(\displaystyle{ z = x + i cdot y \in \CC }\)
\(\displaystyle{ f (z) = w = (x+ i \cdot y)^2 = x^2 - y^2 + 2 i \cdot x\cdot y = u(x,y) + i \cdot v(x,y)}\)
Zbiór \(\displaystyle{ D }\) jest kwadratem jednostkowym na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \CC ,}\) czyli zbiorem punktów:
\(\displaystyle{ D = \left\{ z = \Re(z) + \Im(z) \in \CC: 0 \le \Re(z) \le 1, \ \ 0 \le \Im(z) \le 1 \right\}. }\)
Czemu zakładasz, że `x=1`?
Jego obraz w przekształceniu \(\displaystyle{ f(z) }\)
\(\displaystyle{ f(D) = u(x,y) + i \cdot v(x,y) = 1^2 - y^2 + 2\cdot 1 \cdot y, \ \ y\in [0, 1].}\)
Otrzymujemy układ równań parametrycznych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} u(y) = 1 - y^2 \\ v(y) = 2 y \end{cases} }\)
Proszę wyznaczyć z drugiego równania \(\displaystyle{ y }\) i podstawić do równania pierwszego.
Nie dziwi Cię, że obrazem kwadratu przez całkiem porządne odwzorowanie jest kilka krzywych?
Odpowiedź
Obszar o brzegu złożonym z odcinka \(\displaystyle{ [ -1, 1 ]}\) i dwóch symetrycznych względem osi \(\displaystyle{ Ov }\) łuków parabol \(\displaystyle{ \pm u = 1 - \frac{1}{4}v^2. }\)