Udowodnij używając wzoru de Moivre'a

[NapotkanaOsoba]

Hej, mam zadanie, które już zostało wykonane, jednak prosiłbym o sprawdzenie czy wszystko jest ok. Mam na myśli jakieś błędy rachunkowe/niepoprawne sformułowanie matematyczne czy coś w ten deseń. Nauczyciel który będzie to sprawdzał czepia się wszystkiego jak pchła psiego ogona, stąd moja prośba.

Treść zadania:
Korzystając ze wzoru de Moivre’a i jedynki trygonometrycznej wyraź:
(a) \(\displaystyle{ \cos 3\alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \cos 5\alpha}\) za pomocą \(\displaystyle{ \cos \alpha}\) ,
(b) \(\displaystyle{ \sin 3\alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \sin 5\alpha}\) za pomocą \(\displaystyle{ \sin \alpha}\) .
Wskazówka: Tożsamości dla \(\displaystyle{ \cos 3\alpha}\) i \(\displaystyle{ \sin 3\alpha}\) wyprowadź jednocześnie zapisując odpowiednio
\(\displaystyle{ \cos 3\alpha+i\sin 3\alpha=\cos \alpha(\cos^{2}\alpha-3(1-\cos^{2}\alpha))}\) .

a)
-Korzystam ze wzoru de Moivre'a
\(\displaystyle{ (\cos \alpha+i\sin \alpha)^{3}=\cos 3\alpha +i\sin 3\alpha}\)
-Korzystam ze wzoru skróconego mnożenia 3 stopnia
\(\displaystyle{ \cos^{3}\alpha+i^{3}\cos^{2}\alpha\sin \alpha +i^{2}3\cos \alpha \sin^{2}\alpha+i^{3}\sin^{3}\alpha=\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha}\)
-Doprowadzam wyrażenie do postaci liczby zespolonej:
\(\displaystyle{ \cos^{3}\alpha-3\sin^{2}\alpha\cos \alpha+i(3\cos^{2}\alpha\sin \alpha -\sin^{3}\alpha)=\cos 3\alpha+i\sin 3\alpha}\)

Cześć rzeczywista: \(\displaystyle{ \cos 3\alpha=\cos^{3}\alpha-3\sin^{2}\alpha\cos \alpha=\cos \alpha(\cos^{2}\alpha-3(1-\cos^{2}\alpha))}\)
Część urojona: \(\displaystyle{ \sin 3\alpha=3\cos^{2}\alpha\sin \alpha-\sin^{3}\alpha=\sin \alpha(3(1-\sin^{2}\alpha)-\sin^{2}\alpha)}\)

b)
-Korzystam ze wzoru de Moivre'a
\(\displaystyle{ (\cos x+i\sin x)^{5}=\cos 5\alpha+i\sin 5\alpha}\)
-Korzystam ze wzoru skróconego mnożenia piątego stopnia:
\(\displaystyle{ (\cos x+i\sin x)^{5}=\cos^{5}x+i5\cos^{4}x\sin x+i^{2}10\cos x\sin^{2}x+i^{3}10\cos^{2}x\sin^{3}x+i^{4}5\cos x\sin^{4}x+i^{5}\sin^{5}x}\)
-Doprowadzam wyrażenie do postaci liczby zespolonej:
\(\displaystyle{ \cos^{5}x-10\cos^{3}x\sin^{2}x+5\cos x\sin^{4}x+i(5\sin x\cos^{4}x-10\cos^{2}x\sin^{2}x+\sin^{5}x)}\)

Porównuję 2 liczby zespolone:
\(\displaystyle{ \cos^{5}x-10\cos^{3}x\sin^{2}x+5\cos x\sin^{4}x+i(5\sin x\cos^{4}x-10\cos^{2}x\sin^{2}x+\sin^{5}x)=\cos 5\alpha+i\sin 5\alpha}\)

Część rzeczywista: \(\displaystyle{ \cos 5x= \cos^{5}x-10\cos^{3}x\sin^{2}x+5\cos x\sin^{4}x=\cos x(\cos^{4}x-10\cos^{3}x(1-cos^{2}x)+5(1-\cos^{2}x)^{2})}\)
Cześć urojona: \(\displaystyle{ \sin 5x=5\sin x\cos 4x-10\cos^{2}x\sin^{3}x+\sin^{5}x=\sin x(5\cos^{4}x-10\cos^{2}x+\sin^{4}x)=\sin x(5(1-\sin^{2}x)^{2}-10(1-\sin^{2}x)\sin^{2}x+\sin^{4}x) }\)