Liczba zespolona na płaszczyźnie

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
forvev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 15 wrz 2021, o 22:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 7 razy

Liczba zespolona na płaszczyźnie

Post autor: forvev »

Polecenie brzmi:

Zbiór liczb zespolonych \(\displaystyle{ \left\{ z \in C: Re\left( \frac{z+1}{z-1} \right) = 0 \right\} }\) przedstawia na płaszczyźnie zespolonej:
\(\displaystyle{ [*]Prostą.}\)
\(\displaystyle{ [*]Koło.}\)
\(\displaystyle{ [*]Okrąg.}\)
\(\displaystyle{ [*]Półpłaszczyznę.}\)

Próbowałem rozwiązać to zapisując licznik jako \(\displaystyle{ z - 1 + 2}\), sprowadzając do postaci \(\displaystyle{ Re\left( \frac{z-1}{z-1} + \frac{2}{z-1} \right) = 0 }\), następnie skracając pierwszy ułamek, a drugi mnożąc przez \(\displaystyle{ \frac{z+1}{z+1}}\), ale nic konkretnego z tego nie wychodzi...

Też jest możliwość od razu to co w nawiasie \(\displaystyle{ Re\left( \frac{z+1}{z-1} \right) = 0 }\) przemnożyć przez \(\displaystyle{ \frac{z+1}{z+1}}\), ale również z tego nic ciekawego mi nie wychodziło.

Ma ktoś może pomysł jak podejść do tego zadania?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Liczba zespolona na płaszczyźnie

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ z \neq 1\\
\frac{z+1}{z-1} = \frac{(z+1)(z^*-1)}{(z-1)(z^*-1)}= \frac{zz^*-z+z^*-1}{zz^*-z-z^*+1}= \frac{\left| z\right|^2-i2Im(z)-1 }{\left| z\right|^2-2Re(z)+1 } =\\=\frac{\left| z\right|^2-1 }{\left| z\right|^2-2Re(z)+1 } -i\frac{ 2Im(z) }{\left| z\right|^2-2Re(z)+1 } }\)



Odp:
Okrąg bez jednego punktu
ODPOWIEDZ