Zadania z liczb zespolonych

[IRainbovvI]

Mam kilka zadań których nie mogę rozwiązać, potrzebuję chociażby małej podpowiedzi.
1. \(\displaystyle{ \frac{z + 1}{ \bar z - 1} = -1 }\). Musimy rozwiązać równanie. Jedyne co przychodzi do głowy to przekształcić to w taki sposób:
\(\displaystyle{ z + 1 = -\bar z + 1}\), po czym otrzymujemy \(\displaystyle{ z + \bar z = 0}\) oraz \(\displaystyle{ 2x = 0}\). I w tym momencie nie wiem co mam robić jak mi x wyszedł 0 a y może być dowolną liczbą. Czy to jest rozwiązanie?

2. \(\displaystyle{ (z + \bar z) + i(z - \bar z - 1) = -6}\). Też równanie. Na początku ja zamieniłem lewą część na 2x (czyli 2Re(z)) oraz przekształciłem pozostawe liczby zespolone \(\displaystyle{ (z = x + iy)}\) i po skróceniu mam \(\displaystyle{ 2x - 2y -i = -6}\). Tak samo nie wiem co dalej.

3. \(\displaystyle{ \left| \frac{z - 2i}{z + 1} \right|= 1 }\). Musimy narysować zbiór. I ja nie wiem jak pozbyć się ułamka. Jedyne co mi wyszło to coś podobnego na równanie 2 okręgów \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{a ^{2} + (b - 2) ^{2} }{(a + 1) ^{2} + b ^{2} } } = 1 }\)

[janusz47]

1.
\(\displaystyle{ \frac{z+1}{\overline{z}-1}=-1 }\)

\(\displaystyle{ z+1 = -\overline{z} +1 }\)

\(\displaystyle{ x+1 + iy = -x +1 +iy }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x +1 = -x +1 \\ y = y \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ x =... , y =... }\)

Odpowiedź: \(\displaystyle{ z = iy, \ \ y\in \RR. }\)