Potęgowanie liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Maro0192
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 9 lut 2021, o 22:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 24

Potęgowanie liczb zespolonych

Post autor: Maro0192 »

Witam mam problem z dwoma zadaniami z liczb zespolonych.

\(\displaystyle{ 1. (z-2)^4-16i=0}\)
\(\displaystyle{ (z-2)^4=16i}\)
\(\displaystyle{ w = z-2 , w^4 = 16i , |w| = \sqrt{16} = 4}\)
\(\displaystyle{ w = |w| (\cos \alpha + i\sin \alpha )}\)

\(\displaystyle{ 4 \alpha = \frac{\pi }{2} + 2k\pi \Rightarrow \alpha = \frac{\pi }{8}+\frac{2k\pi }{4}}\)
\(\displaystyle{ w^4 = |w|^4 (\cos 4 \alpha + i\sin 4 \alpha ) = \sqrt{16} (\cos(\frac{\pi }{8}+\frac{2k\pi }{4}) + i\sin (\frac{\pi }{8}+\frac{2k\pi }{4}))}\)
\(\displaystyle{ k = 0,1,2,3}\)

No i tutaj nie wiedziałem co dalej robić.

Jeśli chodzi o zadanie 2 to kompletnie nie wiem jak się za nie zabrać.
2. \(\displaystyle{ z^2+z+1=0}\)

Prosiłbym o wytłumaczenie.
Ostatnio zmieniony 9 lut 2021, o 23:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Potęgowanie liczb zespolonych

Post autor: Premislav »

Drugie:
\(\displaystyle{ z^{2}+z+1=0\\ \left(z+\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{3}{4}i^{2}=0\\\left(z+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\left(z+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=0\\ \ldots}\)
Maro0192
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 9 lut 2021, o 22:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 24

Re: Potęgowanie liczb zespolonych

Post autor: Maro0192 »

A w tym \(\displaystyle{ (z+ \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{4}i^2}\) skąd się wzięło\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{3}{4}i^2}\)?
Ostatnio zmieniony 9 lut 2021, o 23:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Potęgowanie liczb zespolonych

Post autor: Premislav »

Gdy masz trójmian kwadratowy
\(\displaystyle{ az^{2}+bz+c}\), gdzie \(\displaystyle{ a\neq 0}\), to możesz go sprowadzić do tzw. postaci kanonicznej:
\(\displaystyle{ a\left(z^{2}+\frac{b}{a}z+\frac{c}{a}\right)\\a\left(z^{2}+2\cdot \frac{b}{2a}z+\frac{b^{2}}{4a^{2}}+\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}\right)\\a\left(\left(z+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\right)}\)
Tu nie powinno być nic nieznanego. Teraz gdy \(\displaystyle{ b^{2}-4ac>0}\) (gdy jest równe zero, to się trywializuje), to możesz użyć w tym dużym zewnętrznym nawiasie wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:
\(\displaystyle{ x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)}\), dla \(\displaystyle{ x=z+\frac{b}{2a}, \ y=\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}\)
No a co w przypadku, gdy \(\displaystyle{ b^{2}-4ac<0}\) :?:
Otóż nic bardzo odmiennego, można skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ i^{2}=-1}\) i zapisać
\(\displaystyle{ a\left(\left(z+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\right)\\=a\left(\left(z+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(i\frac{\sqrt{4ac-b^{2}}}{2a}\right)^{2}\right)}\)
i analogicznie zastosować wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Potęgowanie liczb zespolonych

Post autor: Jan Kraszewski »

Maro0192 pisze: 9 lut 2021, o 23:35 A w tym \(\displaystyle{ (z+ \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{4}i^2}\) skąd się wzięło\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{3}{4}i^2}\)?
Trójmian kwadratowy - przejście z postaci ogólnej do kanonicznej.

Ale jak wolisz, to możesz deltę liczyć i normalnie rozwiązywać równanie kwadratowe (pamiętając, że w zespolonych policzysz \(\displaystyle{ \sqrt{-3} }\)).

JK
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Potęgowanie liczb zespolonych

Post autor: a4karo »

A może inaczej: `z^2+z+1=\frac{z^3-1}{z-1}`
ODPOWIEDZ