Płaszczyzna zespolona

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Nixolla19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 3 lut 2021, o 17:50
Płeć: Kobieta
wiek: 19

Płaszczyzna zespolona

Post autor: Nixolla19 »

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej rozwiązania (niekonieczne jest ich wyliczenie) równania:
\(\displaystyle{ z^{8} - (2+i)^{16} =0}\).

totalnie nie wiem jak się za to zabrać. Słyszałam, że żeby rozwiązać tego typu równania wystarczy wyznaczyć tylko jedno rozwiązanie, a potem narysować koło na płaszczyźnie zespolonej, nanieść to jedno rozwiązanie i później symetrycznie pozostałem siedem. Tyle, ze ja nawet się nie orientuje jak to jedno wyliczyć :roll:

Podobny problem mam z tym zadaniem:
Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej liczby spełniające warunek:
\(\displaystyle{ 1 \le \left| i\overline{z} - 3 + i\right|<3 }\)
Tutaj się domyślam, że chodzi o równania okręgów
Ostatnio zmieniony 4 lut 2021, o 16:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Płaszczyzna zespolona

Post autor: Dasio11 »

Nixolla19 pisze: 4 lut 2021, o 15:30 \(\displaystyle{ z^{8} - (2+i)^{16} =0}\)
...
Tyle, ze ja nawet się nie orientuje jak to jedno wyliczyć :roll:
Nie potrafisz zgadnąć liczby zespolonej, która podniesiona do potęgi ósmej da \(\displaystyle{ (2+i)^{16}}\) ?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Płaszczyzna zespolona

Post autor: Jan Kraszewski »

To może zacznijmy od prostszego przykładu: jaka liczba podniesiona do potęgi ósmej da \(\displaystyle{ 2^{16}}\) ?

JK
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Płaszczyzna zespolona

Post autor: Janusz Tracz »

Doprowadź to \(\displaystyle{ 1 \le \left| i\overline{z} - 3 + i\right|<3}\) do postaci \(\displaystyle{ a \le \left| z-z_0\right| <b}\). A to uczynisz zauważając, że \(\displaystyle{ \left|\overline{w} \right|=\left| w\right| }\) oraz \(\displaystyle{ \left| sp\right|=\left| s\right|\left| p\right| }\).
Nixolla19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 3 lut 2021, o 17:50
Płeć: Kobieta
wiek: 19

Re: Płaszczyzna zespolona

Post autor: Nixolla19 »

Dasio11 pisze: 4 lut 2021, o 15:54
Nixolla19 pisze: 4 lut 2021, o 15:30 \(\displaystyle{ z^{8} - (2+i)^{16} =0}\)
...
Tyle, ze ja nawet się nie orientuje jak to jedno wyliczyć :roll:
Nie potrafisz zgadnąć liczby zespolonej, która podniesiona do potęgi ósmej da \(\displaystyle{ (2+i)^{16}}\) ?
Gdybym potrafiła, to chyba logiczne, że nie pytałabym na forum. Nie każdy musi być geniuszem i nie dla każdego to musi być takie oczywiste :roll:

Dodano po 1 minucie 23 sekundach:
Jan Kraszewski pisze: 4 lut 2021, o 16:19 To może zacznijmy od prostszego przykładu: jaka liczba podniesiona do potęgi ósmej da \(\displaystyle{ 2^{16}}\) ?

JK
To na szczęście rozumiem :mrgreen: 4
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Płaszczyzna zespolona

Post autor: Jan Kraszewski »

Nixolla19 pisze: 6 lut 2021, o 11:55To na szczęście rozumiem :mrgreen: 4
A ja bym powiedział, że \(\displaystyle{ 2^2}\). A teraz popatrz:

\(\displaystyle{ 2^{16}=\left( 2^2\right)^8 }\)

\(\displaystyle{ (2+i)^{16}=\left( ??\right)^8 }\)

JK
Nixolla19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 3 lut 2021, o 17:50
Płeć: Kobieta
wiek: 19

Re: Płaszczyzna zespolona

Post autor: Nixolla19 »

Jan Kraszewski pisze: 6 lut 2021, o 12:13
Nixolla19 pisze: 6 lut 2021, o 11:55To na szczęście rozumiem :mrgreen: 4
A ja bym powiedział, że \(\displaystyle{ 2^2}\). A teraz popatrz:

\(\displaystyle{ 2^{16}=\left( 2^2\right)^8 }\)

\(\displaystyle{ (2+i)^{16}=\left( ??\right)^8 }\)

JK
\(\displaystyle{ ((2+i) ^{2}) ^{8} }\)
\(\displaystyle{ (3+4i) ^{8} }\)

Czyli po prostu jednym z rozwiązań będzie \(\displaystyle{ 3+4i}\) ?
Ostatnio zmieniony 6 lut 2021, o 13:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Płaszczyzna zespolona

Post autor: Jan Kraszewski »

Nixolla19 pisze: 6 lut 2021, o 12:41Czyli po prostu jednym z rozwiązań będzie \(\displaystyle{ 3+4i}\) ?
Tak.

JK
Nixolla19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 3 lut 2021, o 17:50
Płeć: Kobieta
wiek: 19

Re: Płaszczyzna zespolona

Post autor: Nixolla19 »

Jan Kraszewski pisze: 6 lut 2021, o 13:01 Tak.
Dziękuję bardzo w takim razie, wszystko już jasne.
Ostatnio zmieniony 6 lut 2021, o 18:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Karol566
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 6 lis 2020, o 12:54
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Płaszczyzna zespolona

Post autor: Karol566 »

Janusz Tracz pisze: 4 lut 2021, o 16:42 Doprowadź to \(\displaystyle{ 1 \le \left| i\overline{z} - 3 + i\right|<3}\) do postaci \(\displaystyle{ a \le \left| z-z_0\right| <b}\). A to uczynisz zauważając, że \(\displaystyle{ \left|\overline{w} \right|=\left| w\right| }\) oraz \(\displaystyle{ \left| sp\right|=\left| s\right|\left| p\right| }\).
Też mam problem z tym zadaniem, ale nie bardzo rozumiem dalej jak to rozpisać mimo wskazówki
ODPOWIEDZ