Równanie zespolone

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
kt26420
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 21 sty 2021, o 16:29
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 40 razy

Równanie zespolone

Post autor: kt26420 »

\(\displaystyle{ (z + i)^3 + (\overline z + i)^3 + 8i = 0.}\)
\(\displaystyle{ |z| = 1}\)
Znaleźć wszystkie liczby zespolone \(\displaystyle{ z}\).
Proszę o pomoc.
Ostatnio zmieniony 3 lut 2021, o 15:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości: znaleźć.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Równanie zespolone

Post autor: Premislav »

Skoro \(\displaystyle{ |z|=1}\), to także \(\displaystyle{ |z|^{2}=1}\), a ponieważ
\(\displaystyle{ z\overline{z}=|z|^{2}}\), więc stąd dostajemy \(\displaystyle{ \overline z=\frac{1}{z}}\), podstawiamy do pierwszego i mamy równanie z niewiadomą \(\displaystyle{ z}\).
Po skorzystaniu ze wzoru na sumę sześcianów dostajesz całkiem proste równanie zmiennej pomocniczej \(\displaystyle{ w=z+\frac{1}{z}}\), mnie wyszło takie:
\(\displaystyle{ w\left(w^{2}+3iw-6\right)=0}\)
Ale pewnie to nie jest optymalna metoda, tylko ja jestem tępy…

Dodano po 11 minutach 23 sekundach:
Właściwie to jest może nie optymalna, ale całkiem szybka droga, jak tylko sobie przypomnimy, że u nas \(\displaystyle{ z+\frac{1}{z}=z+\overline{z}=2\mathrm{Re}(z)}\), bo to eliminuje z rozważań drugi czynnik, który jest trójmianem kwadratowym o pierwiastkach będących liczbami zespolonymi nierzeczywistymi (mającymi mianowicie część urojoną \(\displaystyle{ -\frac{3}{2}i}\)).
ODPOWIEDZ