Dowód, różnica argumentów

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
SemastianM
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 21 lis 2020, o 23:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 29
Podziękował: 11 razy

Dowód, różnica argumentów

Post autor: SemastianM »

Dzień dobry,

proszę o pomoc z następującym zadaniem:

Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ |Z _{1} + Z _{2} | = |Z _{1} - Z _{2} | }\) to różnica argumentów \(\displaystyle{ Z _{1}, Z _{2} }\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2} }\).

Robię tak, że obliczam moduły oby wyrażeń następnie podnoszę do kwadratu i dochodzę do równania, że \(\displaystyle{ x_{1} x_{2} = - y_{1} y_{2} }\) i nie wiem co dalej.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Dowód, różnica argumentów

Post autor: Janusz Tracz »

Szkic, nie wdając się w szczegóły tupu \(\displaystyle{ Z_1=Z_2}\) które należy sprawdzić osobno zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ \left| Z_1+Z+2\right|=\left| Z_1-Z_2\right| }\) to \(\displaystyle{ \left| \frac{Z_1}{Z_2} +1\right|=\left| \frac{Z_1}{Z_2} -1\right| }\) a to oznacza, że \(\displaystyle{ \frac{Z_1}{Z_2} }\) jest czysto urojone. To znaczy \(\displaystyle{ \frac{Z_1}{Z_2} }\) jest postaci \(\displaystyle{ 0+bi}\). Zatem \(\displaystyle{ \text{Arg}\left( \frac{Z_1}{Z_2}\right) }\) to \(\displaystyle{ \pm \frac{ \pi }{2} }\).
SemastianM
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 21 lis 2020, o 23:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 29
Podziękował: 11 razy

Re: Dowód, różnica argumentów

Post autor: SemastianM »

Janusz Tracz pisze: 27 sty 2021, o 22:31 Szkic, nie wdając się w szczegóły tupu \(\displaystyle{ Z_1=Z_2}\) które należy sprawdzić osobno zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ \left| Z_1+Z+2\right|=\left| Z_1-Z_2\right| }\) to \(\displaystyle{ \left| \frac{Z_1}{Z_2} +1\right|=\left| \frac{Z_1}{Z_2} -1\right| }\) a to oznacza, że \(\displaystyle{ \frac{Z_1}{Z_2} }\) jest czysto urojone. To znaczy \(\displaystyle{ \frac{Z_1}{Z_2} }\) jest postaci \(\displaystyle{ 0+bi}\). Zatem \(\displaystyle{ \text{Arg}\left( \frac{Z_1}{Z_2}\right) }\) to \(\displaystyle{ \pm \frac{ \pi }{2} }\).
Nie rozumiem. Czemu dzielisz przez \(\displaystyle{ z_{2} }\) skoro to jest \(\displaystyle{ x_{2} + y_{2}i }\) a \(\displaystyle{ | z_{1} + z_{2}| }\) to \(\displaystyle{ \sqrt{( x_{1} +x_{2}) ^{2} + (y_{1} +y_{2}) ^{2} )} }\)?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Dowód, różnica argumentów

Post autor: a4karo »

A co ma jedno do drugiego?
SemastianM
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 21 lis 2020, o 23:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 29
Podziękował: 11 razy

Re: Dowód, różnica argumentów

Post autor: SemastianM »

a4karo pisze: 28 sty 2021, o 14:02 A co ma jedno do drugiego?
jak to co? nie rozumiem czemu wykonał takie działanie. \(\displaystyle{ | z_{1} +z _{2} | }\) to jest zapis symboliczny, czyż nie? Rozumiem jakby to była wartość bezwzględna ale nie moduł liczby zespolonej
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Dowód, różnica argumentów

Post autor: a4karo »

To nie jest zapis symboliczny. To jest konkretna liczba rzeczywista. Podlega takim samym prawom jak wartość bezwzgledna. Mam wrażenie, że nie rozumiesz znaczenia mdułu liczby zespolonej

Dodano po 1 minucie 54 sekundach:
Swoją drogą w pośćie JT jest drobne typo: zamiast `|Z_1+Z+2|` powinno być `|Z_1+Z_2|`, ale mam nadzieję że to zauważyłeś.
SemastianM
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 21 lis 2020, o 23:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 29
Podziękował: 11 razy

Re: Dowód, różnica argumentów

Post autor: SemastianM »

Dzięki za odpowiedzi
ODPOWIEDZ