równanie zespolone

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
CaffeeLatte
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 mar 2020, o 17:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 2 razy

równanie zespolone

Post autor: CaffeeLatte »

Znaleźć wszystkie zespolone rozwiązania równania:
\(\displaystyle{ z^3 = -16 + 16i}\)
spróbowałem zrobić coś takiego, że \(\displaystyle{ z^3}\) zamieniłem na \(\displaystyle{ (x + yi)^3}\) przyrównałem do siebie części rzeczywiste i urojone
i stworzyłem układ równań z 2 niewiadomymi:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x^3 - 3xy^2 = -16\\3x^2y - y^3 = 16 \end{array}\right\}}\)
czy jest to dobry sposób na rozwiązanie tego zadania ? niestety nie wiem za bardzo jak się zabrać za ten układ równań :/
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: równanie zespolone

Post autor: Janusz Tracz »

Sposób jest ideowo dobry ale obliczeniowo można się łatwo pogubić jak widzisz. Więc robi się to zwykle trochę inaczej. Równanie to sprowadza się do obliczenia wszystkich pierwiastków trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ -16+16i}\). A to możesz zrobić ze wzoru de Moivre'a uprzednio zapisując tą liczbę w postaci trygonometrycznej (lub wykładniczej).
ODPOWIEDZ