Potrzebuję pomocy w zrozumieniu liczb zespolonych

[mistromel97]

Cześć wszystkim. Jestem zdezorientowany z pojęciem liczb zespolonych. Nie rozumiem, czym one są z natury (para liczb rzeczywistych z jedną dołączoną do płaszczyzny zespolonej?) Ani dlaczego działają. Wiem, że są niezwykle przydatne, ale nie rozumiem, dlaczego są. Jaki jest wyimaginowany wykres funkcji?

Dla tych, którzy mogą wiedzieć trochę więcej: dlaczego równania Schrodingera nie można wyrazić tylko liczbami rzeczywistymi? Co to jest „urojona część” funkcji falowej?

Jeśli potrzebne są dodatkowe wyjaśnienia, z przyjemnością udzielę.

[Janusz Tracz]

czym one są z natury

To jest filozoficzne pytanie. A czym liczba jest z natury? Widziałeś kiedyś liczbę? To jest abstrakcyjne pojęcie. Liczba zespolona to element pewnego zbioru który został jakoś tam skonstruowany i można o nim myśleć jak o parach liczb rzeczywistych. A na tym zborze określono działania, to dlaczego takie a nie inne to już inna kwestia, ale póki co to jest czysto abstrakcyjne podejście matematyków. W nieformalnym sensie ja na liczby zespolone lubię patrzeć tak, że gdyby chcieć zapisać w jakiś abstrakcyjny sposób obrót o \(\displaystyle{ 90^\circ}\) to można zauważyć, że działając takim obrotem na punkt \(\displaystyle{ \left( x,y\right) }\) otrzymamy \(\displaystyle{ \left( -y,x\right) }\) a działając jeszcze raz dostaniemy \(\displaystyle{ \left( -x,-y\right) }\) i jeszcze raz \(\displaystyle{ \left( y,-x\right) }\) a jak zadziałamy jeszcze raz to wrócimy do \(\displaystyle{ \left( x,y\right) }\). Teraz gdyby chcieć to jakoś zapisywać w szybki sposób to zauważmy, że dowolny punkt na prostej \(\displaystyle{ \RR}\) poddany dwóm takim obrotom przejdzie na liczbę przeciwną. Zatem gdyby istniała taka liczba która w pewnym sensie mnoży inną liczbę i ja obraca o \(\displaystyle{ 180^\circ}\) to było by to \(\displaystyle{ -1}\) ale to jest złożenie dwóch obrotów o \(\displaystyle{ 90^\circ}\). Zatem gdyby istniała taka liczba która mnoży w jakiś sposób punkt i z niego się punkt obrócony o kąt \(\displaystyle{ 90^\circ}\) to w naturalny sposób wymagali byśmy aby ta liczba podniesiona do kwadratu była równa \(\displaystyle{ -1}\). Niech zatem taka liczba istnieje i nazywamy ją \(\displaystyle{ i}\) takie, że \(\displaystyle{ i^2=-1}\). Potem już można formalizować. Wprowadzać działania i bawić się w całą abstrakcyjną teorię.

dlaczego równania Schrodingera nie można wyrazić tylko liczbami rzeczywistymi? Co to jest „urojona część” funkcji falowej?

Nie znam się na tym równaniu ale jestem praktycznie pewien, że liczby zespolone nie są konieczne by takie równanie zaistniało. Podejrzewam, że również dobrze można by było przepisać to równanie w formie wektorowej i słowem nie powiedzieć nic o liczbach zespolonych. Tylko tak pewnie jest dłużej, mniej elegancko i niewygodnie.

[AiDi]

Dla tych, którzy mogą wiedzieć trochę więcej: dlaczego równania Schrodingera nie można wyrazić tylko liczbami rzeczywistymi?

Można, ale wtedy będziesz miał dwa równania na dwie funkcje i jeden "wiąz", który wiąże obie te funkcje i byłby odpowiednikiem mnożenia zespolonego. Dużo prościej jest jednak trzymać się liczb zespolonych.

Co to jest „urojona część” funkcji falowej?

Funkcja falowa przyjmuje wartości zespolone więc "urojona część funkcji falowej" to po prostu taka funkcja, która na wyjściu daje część urojoną tego co pełna funkcja falowa.