Równanie kwadratowe liczb zespolonych

[Faquerty01]

Liczby \(\displaystyle{ z_1}\) oraz \(\displaystyle{ z_2}\) są zespolonymi pierwiastkami równania kwadratowego
\(\displaystyle{ z^2-2z-6i+9=0}\).
Oblicz te pierwiastki.

Bardzo proszę o pomoc w tym zadaniu.

[a4karo]

A konkretnie z czym masz kłopot? Bo rozwiązać trójmian kwadratowy chyba potrafisz

[Premislav]

Domyślam się, że problem może wystąpić, gdy używa się postaci trygonometrycznej, a to dlatego, że kąt, którego kosinus wynosi \(\displaystyle{ -\frac{4}{5}}\), a sinus równy jest \(\displaystyle{ \frac{3}{5}}\), nie wyraża się w żaden szczególnie przyjemny sposób AFAIR. Najwyżej \(\displaystyle{ \arctg \left(-\frac{3}{4}\right)+(2k+1)\pi}\).

Nie ma jednak obowiązku używania postaci trygonometrycznej: piszemy
\(\displaystyle{ (a+bi)^{2}=-8+6i}\) (gdzie \(\displaystyle{ a,b\in \RR}\)), korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia po lewej, przyrównujemy części rzeczywiste i urojone, i mamy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a^{2}-b^{2}=-8\\2ab=6\end{cases}}\),
którego rozwiązanie jest jak najbardziej do realizacji, podstawiamy np. za \(\displaystyle{ b}\) z drugiego równania do pierwszego i mamy równanie dwukwadratowe (poziom szkoły średniej).

[janusz47]

\(\displaystyle{ z^2 -2z -6i +9 = 0}\)

\(\displaystyle{ z^2 -2z +1 -6i +8 = 0,}\)

\(\displaystyle{ (z - 1)^2 - (-8 + 6i)= 0,}\)

\(\displaystyle{ (z-1)^2 - (\sqrt{-8+6i})^2 = 0,}\)

\(\displaystyle{ (z -1 +\sqrt{-8+6i})(z -1 -\sqrt{-8+6i}) = 0 }\)

\(\displaystyle{ z_{1} = 1 -\sqrt{-8+6i}, \ \ z_{2} = 1 + \sqrt{-8+6i}. }\)

\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{(-8)^2 +(6)^2} = \sqrt{100} = 10.}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{-8-6i} = \pm \left( \sqrt{\frac{10-8}{2}} + i \sqrt{ \frac{10 + 8}{2}}\right) = \pm(\sqrt{1} + i \sqrt{9}) = \pm(1 + 3i). }\)

\(\displaystyle{ z_{1} = 1 - 1 -3i = -3i, \ \ z_{2} = 1 +1 +3i = 2 + 3i, }\)

\(\displaystyle{ z_{1} = -3i, \ \ z_{2} = 2+3i. }\)