Niestandardowy kąt

[mpomykala105]

Witam
Mam pytanie odnośnie orzykładu z pierwiastkowania liczby zespolonej
\(\displaystyle{ \sqrt{1-2i} }\)
wychodzi tutaj cosinus
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{5} }{5} }\) , którego nie ma w tablicach, jak wyznaczyć kąt w w takiej sytuacji ?

[Dasio11]

W tym przypadku kąt nie wyraża się w sensownej postaci - co najwyżej \(\displaystyle{ \arccos \frac{\sqrt{5}}{5}}\) - natomiast pierwiastek (pierwiastki) można wyliczyć przekształcając równanie \(\displaystyle{ (x+yi)^2 = 1-2i}\) do układu równań

\(\displaystyle{ \begin{cases}
x^2 - y^2 = 1 \\
2xy = -2
\end{cases}}\)

[Janusz Tracz]

Można też podstawić pod wzór:

\(\displaystyle{ \sqrt{z} = \sqrt{\left| z\right| } \cdot \frac{z+\left|z \right| }{\left| z+\left| z\right| \right| } }\)

Gdzie \(\displaystyle{ z=1-2i}\) zatem \(\displaystyle{ |z|= \sqrt{5} }\) czyli:

\(\displaystyle{ \sqrt{1-2i}= \sqrt{\sqrt{5}} \cdot \frac{1-2i+\sqrt{5}}{\left| 1-2i+\sqrt{5}\right| } = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{ \sqrt{5}-1 }{2} } \cdot \left( 1+\sqrt{5}-2i\right) }\)

a ten drugi pierwiastek jest z minusem.