Równanie zespolone

[oppen14]

Dzień dobry,
czy jest ktoś w stanie pomóc mi z tym przykładem?
\(\displaystyle{ \Im \frac{z}{z+i}=0}\)

[Janusz Tracz]

Podstaw \(\displaystyle{ z=x+iy}\) i oblicz część urojoną. Dostaniesz jakieś warunki na \(\displaystyle{ x,y}\).

[oppen14]

Tak zrobiłem i po przekształceniach mam wyrażenia z " i " w liczniku i mianowniku i nie wiem jak wyodrębnić z tego część urojoną
\(\displaystyle{ \frac{x ^{2}-y ^{2}+y+i(2xy-x) }{x ^{2} +2xyi- y ^{2} +1 }}\)

[Janusz Tracz]

Co zrobiłeś (napisz rachunki proszę), że dostałeś:

\(\displaystyle{ \frac{x ^{2}-y ^{2}+y+i(2xy-x) }{x ^{2} +2xyi- y ^{2} +1 }}\)

Mi chodziło o to aby zapisać:

\(\displaystyle{ \frac{z}{z+i}= \frac{x+iy}{x+i(y+1)}= \frac{x+iy}{x+i(y+1)} \cdot \frac{x-i(y+1)}{x-i(y+1)}=...}\)

dokończ obliczenia.

[oppen14]

\(\displaystyle{ \frac{z}{z+i} = \frac{z(z-i)}{(z+i)(z-i)} = \frac{z ^{2} - iz }{z ^{2} +1 } = \frac{(x+iy) ^{2} - i(x+iy)}{ (x+iy)^{2} + 1} = \frac{x ^{2} + 2xyi - y ^{2} -ix +y }{x ^{2} +2xyi -y ^{2} +1 } = \frac{x ^{2} - y ^{2} + y + i(2xy - x) }{x ^{2} +2xyi -y ^{2} +1 }}\)

tam gdzie się pojawiało \(\displaystyle{ i ^{2} }\) od razu zamieniałem na \(\displaystyle{ -1.}\)

Dodano po 28 minutach 57 sekundach:
Chyba zdałem sobie sprawę że nie można pracować na "nierozwiniętym" z, jak od razu podstawiłem za z, \(\displaystyle{ x+iy }\) to dostałem część urojoną \(\displaystyle{ - (\frac{x}{x ^{2} + y ^{2} + 2y + 1 })}\) ale brak rozwiązań bo przy ustalaniu dziedziny wyszło mi że: \(\displaystyle{ x \neq 0 \wedge y \neq -1 }\)

[a4karo]

Zakładając, że część urojona jest policzona prawidłowo, czemu uważasz, że `x=0, y=7` nie jest rozwiązaniem?

Dodano po 11 minutach 28 sekundach:
Zadanie można rozwiązać nie wykonując żadnych rachunków:
Warunek zadania oznacza, że liczby `z` i `z+i` mają taki sam argument lub że różnią się one o `\pi`. Innymi słowy, że punkty `z`, `z+i` oraz `0` są współliniowe. Stąd rozwiązaniem jest zbiór `\{ yi: -1\ne y\in\RR\}`