Rozwiąż równania trzeciego stopnia

[Nie_kujonka]

Rozwiąż równania
a) \(\displaystyle{ x^3=-\frac{1}{2}- \frac{\sqrt{3}}{2}i}\)
b) \(\displaystyle{ x^3=-\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i}\)

[a4karo]

Wsk załóż prawe strony w postaci trygonometrycznej

[Nie_kujonka]

Umiem wyliczyć rozwiązania w wersji trygonometrycznej, ale niestety nie mogą być takiej postaci...

[a4karo]

Ciekawe czemu komuś się `\sin (\pi/9) `nie podoba. Taka sama liczba jak każda inna

[Nie_kujonka]

\(\displaystyle{ x=-\cos(\frac{\pi}{9})-i \sin (\frac{\pi}{9}) ,
x=\frac{1}{2}(\sqrt{3}\sin (\frac{\pi}{9})+\cos(\frac{\pi}{9}))+\frac{1}{2}i(\sqrt{3}\cos (\frac{\pi}{9})-\sin(\frac{\pi}{9})), \\
x=\sin(\frac{\pi}{18})+i \cos(\frac{\pi}{18}),\\
x=\sin(\frac{\pi}{18})-i \cos(\frac{\pi}{18}),\\
x=\frac{1}{2}(\sqrt{3}\sin (\frac{\pi}{9})+\cos(\frac{\pi}{9}))+\frac{1}{2}i(\sin(\frac{\pi}{9})-\sqrt{3}\cos (\frac{\pi}{9})),\\
x=-\cos(\frac{\pi}{9})+i \sin (\frac{\pi}{9})}\)
Mam rozwiązania takiej postaci, ale nie pasują...

[Jan Kraszewski]

A jaka jest oczekiwana postać rozwiązań?

JK

[Nie_kujonka]

Cytując odpowiedź wykładowcy: "Trzeba wypisać konkretne rozwiązania, a nie kosinusy i sinusy". Dla mnie powyższe rozwiązanie są konkretne, ale się nie podobają.

[a4karo]

TRudno powiedzieć o co chodzu wykładowcy. sinusa kąta `\pi/9` nie da się przedstawić w postaci skończonej kombinacji pierwiastków, bo `9` nie jest postaci `2^k\cdot m`, gdzie `m` jest iloczynem różnych liczb Fermata.

Może chce przybliżenia?

Twojego posta z rozwiązaniami niestety nie da się czytać.

Zauważ, że `x^3=-1/2- \sqrt{3}/2=\cos ({4\pi}/3)+i\sin({4\pi}/3)`, więc `x=...`

[Janusz Tracz]

TRudno powiedzieć o co chodzu wykładowcy. sinusa kąta `\pi/9` nie da się przedstawić w postaci skończonej kombinacji pierwiastków, bo `9` nie jest postaci `2^k\cdot m`, gdzie `m` jest iloczynem różnych liczb Fermata.

Być może nie do końca rozumiem kryterium w jakiej chcemy przedstawić wynik ale \(\displaystyle{ \pi /9}\) to \(\displaystyle{ 20^{\circ}}\) zatem powinno dać się jawnie przedstawić \(\displaystyle{ \sin 20^{\circ}}\) zauważając, że:

\(\displaystyle{ \sin 3^{\circ}=\frac{\sqrt{8-\sqrt{3}-\sqrt{15}-\sqrt{10-2 \sqrt{5}}}}{4}}\)

oraz

\(\displaystyle{ \cos 3^{\circ}=\frac{\sqrt{8+\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10-2 \sqrt{5}}}}{4}}\)

można próbować zapisać \(\displaystyle{ \sin 1^{\circ}}\) z pomocą wzoru \(\displaystyle{ \sin 3x=-4\sin ^3x +3\sin x}\) (wzory Cardana się przydadzą). A potem zapisanie \(\displaystyle{ \sin 20^{\circ}}\) powinno już być łatwe co do zasady a nie rachunków.

[a4karo]

Wystarczy to zrobić dla `\coś 60`

Ale wiesz, że tam jeszcze arccos się pojawia...