Własność działań w zbiorze liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
bartekw2213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 1 paź 2020, o 16:18
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 33 razy

Własność działań w zbiorze liczb zespolonych

Post autor: bartekw2213 »

Witam, mam problem z wykazaniem, że jeżeli liczby zespolone \(z_{1}, z_{2}\) spełniają warunek \(z_{1} \times z_{2} = 0\), to \(z_{1} = 0\) lub \(z_{2} = 0\).
Jedynie do czego oczywiście dochodzę to \((x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2}, x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1})\), a potem nie mam pomysłu w jaki w ogóle sposób to ugryźć.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Własność działań w zbiorze liczb zespolonych

Post autor: Dasio11 »

Wystarczy skorzystać z faktu, że moduł iloczynu liczb zespolonych jest równy iloczynowi ich modułów, oraz z tego, że jedyną liczbą o zerowym module jest zero.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Własność działań w zbiorze liczb zespolonych

Post autor: matmatmm »

Można też skorzystać z faktu, że liczby zespolone tworzą ciało:

Załóżmy, że \(\displaystyle{ z_1\cdot z_2=0}\) oraz \(\displaystyle{ z_1\neq 0}\). Mnożymy równość obustronnie przez \(\displaystyle{ z_1^{-1}}\) i dostajemy \(\displaystyle{ z_2=0}\).
ODPOWIEDZ